与えられた連立一次方程式を掃き出し法を用いて解く問題です。問題は二つあります。 (1) $ \begin{cases} 2x_2 + 4x_3 + 2x_4 = 2 \\ -x_1 + x_2 + 3x_3 + 2x_4 = 2 \\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 + x_4 = 1 \\ -2x_1 - x_2 + x_4 = 1 \end{cases} $ (2) $ \begin{cases} ax_1 + x_2 + x_3 = -2 \\ 3x_1 + 4x_2 + x_3 = -5 \\ x_1 + x_2 + 2x_3 = -3 \end{cases} $

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を掃き出し法を用いて解く問題です。問題は二つあります。

(1)

$$

\begin{cases}

2x_2 + 4x_3 + 2x_4 = 2 \\

-x_1 + x_2 + 3x_3 + 2x_4 = 2 \\

x_1 + 2x_2 + 3x_3 + x_4 = 1 \\

-2x_1 - x_2 + x_4 = 1

\end{cases}

$$

(2)

$$

\begin{cases}

ax_1 + x_2 + x_3 = -2 \\

3x_1 + 4x_2 + x_3 = -5 \\

x_1 + x_2 + 2x_3 = -3

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた連立一次方程式を行列で表し、拡大係数行列を作成します。その後、掃き出し法を用いて行列を簡約化します。

拡大係数行列は次のようになります。

$$

\begin{pmatrix}

0 & 2 & 4 & 2 & | & 2 \\

-1 & 1 & 3 & 2 & | & 2 \\

1 & 2 & 3 & 1 & | & 1 \\

-2 & -1 & 0 & 1 & | & 1

\end{pmatrix}

$$

行を入れ替えます。

$$

\begin{pmatrix}

-1 & 1 & 3 & 2 & | & 2 \\

0 & 2 & 4 & 2 & | & 2 \\

1 & 2 & 3 & 1 & | & 1 \\

-2 & -1 & 0 & 1 & | & 1

\end{pmatrix}

$$

1行目を-1倍します。

$$

\begin{pmatrix}

1 & -1 & -3 & -2 & | & -2 \\

0 & 2 & 4 & 2 & | & 2 \\

1 & 2 & 3 & 1 & | & 1 \\

-2 & -1 & 0 & 1 & | & 1

\end{pmatrix}

$$

3行目から1行目を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & -1 & -3 & -2 & | & -2 \\

0 & 2 & 4 & 2 & | & 2 \\

0 & 3 & 6 & 3 & | & 3 \\

-2 & -1 & 0 & 1 & | & 1

\end{pmatrix}

$$

4行目に1行目の2倍を加えます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & -1 & -3 & -2 & | & -2 \\

0 & 2 & 4 & 2 & | & 2 \\

0 & 3 & 6 & 3 & | & 3 \\

0 & -3 & -6 & -3 & | & -3

\end{pmatrix}

$$

2行目を1/2倍します。

$$

\begin{pmatrix}

1 & -1 & -3 & -2 & | & -2 \\

0 & 1 & 2 & 1 & | & 1 \\

0 & 3 & 6 & 3 & | & 3 \\

0 & -3 & -6 & -3 & | & -3

\end{pmatrix}

$$

3行目から2行目の3倍を引きます。

4行目に2行目の3倍を加えます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & -1 & -3 & -2 & | & -2 \\

0 & 1 & 2 & 1 & | & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

\end{pmatrix}

$$

1行目に2行目を加えます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & -1 & | & -1 \\

0 & 1 & 2 & 1 & | & 1 \\

0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

\end{pmatrix}

$$

したがって、$x_1 - x_3 - x_4 = -1$ と $x_2 + 2x_3 + x_4 = 1$ です。 $x_3 = s$, $x_4 = t$ とすると、$x_1 = s + t - 1$ と $x_2 = -2s - t + 1$ が得られます。

(2) 与えられた連立一次方程式を行列で表し、拡大係数行列を作成します。その後、掃き出し法を用いて行列を簡約化します。

$$

\begin{pmatrix}

a & 1 & 1 & | & -2 \\

3 & 4 & 1 & | & -5 \\

1 & 1 & 2 & | & -3

\end{pmatrix}

$$

1行目と3行目を入れ替えます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 1 & 2 & | & -3 \\

3 & 4 & 1 & | & -5 \\

a & 1 & 1 & | & -2

\end{pmatrix}

$$

2行目から1行目の3倍を引きます。

3行目から1行目のa倍を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 1 & 2 & | & -3 \\

0 & 1 & -5 & | & 4 \\

0 & 1-a & 1-2a & | & -2+3a

\end{pmatrix}

$$

3行目から2行目の(1-a)倍を引きます。

$$

\begin{pmatrix}

1 & 1 & 2 & | & -3 \\

0 & 1 & -5 & | & 4 \\

0 & 0 & 1-2a+5(1-a) & | & -2+3a-4(1-a)

\end{pmatrix}

$$

$$

\begin{pmatrix}

1 & 1 & 2 & | & -3 \\

0 & 1 & -5 & | & 4 \\

0 & 0 & 6-7a & | & 7a-6

\end{pmatrix}

$$

もし$a \ne 6/7$なら、$x_3 = -1$です。

$x_2 -5x_3 = 4$なので、$x_2 = -1$です。

$x_1 + x_2 + 2x_3 = -3$なので、$x_1 = 0$です。

もし$a=6/7$なら、解は存在しません。

3. 最終的な答え

(1) $x_1 = s + t - 1$, $x_2 = -2s - t + 1$, $x_3 = s$, $x_4 = t$ (s, tは任意の実数)

(2) $a \ne 6/7$のとき、$x_1 = 0$, $x_2 = -1$, $x_3 = -1$

$a = 6/7$のとき、解なし