第2項が3、第5項が24である等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。ただし、公比は実数とする。

1. 問題の内容

第2項が3、第5項が24である等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。ただし、公比は実数とする。

2. 解き方の手順

等比数列の一般項は $a_n = a r^{n-1}$ で表されます。ここで、$a$ は初項、$r$ は公比、$n$ は項数です。

問題文より、第2項が3なので $a_2 = ar = 3$ 、第5項が24なので $a_5 = ar^4 = 24$ です。

$ar^4 = 24$ を $ar = 3$ で割ると、

$\frac{ar^4}{ar} = \frac{24}{3}$

$r^3 = 8$

公比 $r$ は実数なので、$r = 2$

$ar = 3$ に $r = 2$ を代入すると、

$2a = 3$

$a = \frac{3}{2}$

よって、一般項 $a_n = a r^{n-1}$ は、

$a_n = \frac{3}{2} \cdot 2^{n-1}$

$a_n = \frac{3}{2} \cdot \frac{2^n}{2}$

$a_n = 3 \cdot 2^{n-2}$

3. 最終的な答え

$a_n = 3 \cdot 2^{n-2}$