初項200、公差-6の等差数列 $\{a_n\}$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) 50 は第何項か。 (2) 初項から第何項までの和が最大であるか。また、その和を求めよ。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

初項200、公差-6の等差数列 $\{a_n\}$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) 50 は第何項か。

(2) 初項から第何項までの和が最大であるか。また、その和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の一般項を求めます。一般項の公式は $a_n = a_1 + (n-1)d$ です。

ここで、$a_1 = 200$、$d = -6$ を代入すると、$a_n = 200 + (n-1)(-6)$ となります。

$a_n = 50$ となる $n$ を求めるので、$50 = 200 + (n-1)(-6)$ を解きます。

$50 = 200 - 6n + 6$

$6n = 200 + 6 - 50$

$6n = 156$

$n = \frac{156}{6} = 26$

したがって、50 は第26項です。

(2) 等差数列の和が最大になるのは、項が正である範囲で和を取る時です。

一般項 $a_n$ が正となる $n$ の範囲を求めます。

$a_n = 200 + (n-1)(-6) > 0$

$200 - 6n + 6 > 0$

$206 > 6n$

$n < \frac{206}{6} = \frac{103}{3} \approx 34.33$

したがって、$n \le 34$ の範囲で $a_n > 0$ となります。

よって、初項から第34項までの和が最大となります。

等差数列の和の公式は $S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$ です。

$S_{34} = \frac{34}{2}(200 + a_{34})$ を計算します。

$a_{34} = 200 + (34-1)(-6) = 200 + 33(-6) = 200 - 198 = 2$

$S_{34} = \frac{34}{2}(200 + 2) = 17(202) = 3434$

したがって、初項から第34項までの和が最大であり、その和は3434です。

3. 最終的な答え

(1) 50は第26項

(2) 初項から第34項までの和が最大で、その和は3434