与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{pmatrix} 2x & 5 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & 0 & 2 \\ 3 & x & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{pmatrix}

2x & 5 & 4 & 2 \\

0 & 3 & 0 & 2 \\

3 & x & 1 & 0 \\

-2 & 0 & 1 & -1

\end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、まず2行目で展開します。

$\det(A) = 0 \cdot C_{21} + 3 \cdot C_{22} + 0 \cdot C_{23} + 2 \cdot C_{24} = 3C_{22} + 2C_{24}$

ここで、$C_{ij}$は(i,j)成分の余因子を表します。余因子は、$C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$で与えられます。$M_{ij}$は(i,j)成分を除いた小行列式です。

$C_{22} = (-1)^{2+2} \det \begin{pmatrix} 2x & 4 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

$C_{24} = (-1)^{2+4} \det \begin{pmatrix} 2x & 5 & 4 \\ 3 & x & 1 \\ -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

まず、$C_{22}$ を計算します。

$C_{22} = 1 \cdot [2x(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 1) - 4(3 \cdot (-1) - 0 \cdot (-2)) + 2(3 \cdot 1 - 1 \cdot (-2))] = 2x(-1) - 4(-3) + 2(5) = -2x + 12 + 10 = -2x + 22$

次に、$C_{24}$ を計算します。

$C_{24} = 1 \cdot [2x(x \cdot 1 - 1 \cdot 0) - 5(3 \cdot 1 - 1 \cdot (-2)) + 4(3 \cdot 0 - x \cdot (-2))] = 2x(x) - 5(5) + 4(2x) = 2x^2 - 25 + 8x = 2x^2 + 8x - 25$

したがって、

$\det(A) = 3C_{22} + 2C_{24} = 3(-2x + 22) + 2(2x^2 + 8x - 25) = -6x + 66 + 4x^2 + 16x - 50 = 4x^2 + 10x + 16$

3. 最終的な答え

$4x^2 + 10x + 16$