与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} -1 & x & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ x & -1 & 2 \end{bmatrix}$ に対して、以下の2つの問題を解く。 (1) 行列式 $det(A)$ を求める。 (2) 行列 $A$ の余因子行列を求める。

1. 問題の内容

与えられた行列 $A = \begin{bmatrix} -1 & x & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ x & -1 & 2 \end{bmatrix}$ に対して、以下の2つの問題を解く。

(1) 行列式 $det(A)$ を求める。

(2) 行列 $A$ の余因子行列を求める。

2. 解き方の手順

(1) 行列式 $det(A)$ の計算：

$det(A)$ は次のように計算できる。

$det(A) = -1(0 \cdot 2 - 2 \cdot (-1)) - x(1 \cdot 2 - 2 \cdot x) + 1(1 \cdot (-1) - 0 \cdot x)$

$det(A) = -1(0 + 2) - x(2 - 2x) + 1(-1 - 0)$

$det(A) = -2 - 2x + 2x^2 - 1$

$det(A) = 2x^2 - 2x - 3$

(2) 余因子行列の計算：

余因子行列 $C$ は、各要素 $c_{ij}$ が $A$ の $(i, j)$ 余因子である行列である。

$c_{11} = \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = 0 \cdot 2 - 2 \cdot (-1) = 2$

$c_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ x & 2 \end{vmatrix} = -(1 \cdot 2 - 2 \cdot x) = -2 + 2x$

$c_{13} = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ x & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) - 0 \cdot x = -1$

$c_{21} = -\begin{vmatrix} x & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = -(x \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) = -2x - 1$

$c_{22} = \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ x & 2 \end{vmatrix} = -1 \cdot 2 - 1 \cdot x = -2 - x$

$c_{23} = -\begin{vmatrix} -1 & x \\ x & -1 \end{vmatrix} = -((-1) \cdot (-1) - x \cdot x) = -1 + x^2$

$c_{31} = \begin{vmatrix} x & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = x \cdot 2 - 1 \cdot 0 = 2x$

$c_{32} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -((-1) \cdot 2 - 1 \cdot 1) = -(-2 - 1) = 3$

$c_{33} = \begin{vmatrix} -1 & x \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot 0 - x \cdot 1 = -x$

よって、余因子行列 $C$ は、

$C = \begin{bmatrix} 2 & -2+2x & -1 \\ -2x-1 & -2-x & -1+x^2 \\ 2x & 3 & -x \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 行列式 $det(A) = 2x^2 - 2x - 3$

(2) 余因子行列 $C = \begin{bmatrix} 2 & -2+2x & -1 \\ -2x-1 & -2-x & -1+x^2 \\ 2x & 3 & -x \end{bmatrix}$