与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} 2x & 5 & 4 & 2 \\ 0 & 3 & 0 & 2 \\ 3 & x & 1 & 0 \\ -2 & 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

2x & 5 & 4 & 2 \\

0 & 3 & 0 & 2 \\

3 & x & 1 & 0 \\

-2 & 0 & 1 & -1

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、まず2行目で余因子展開を行います。

$\begin{vmatrix}

2x & 5 & 4 & 2 \\

0 & 3 & 0 & 2 \\

3 & x & 1 & 0 \\

-2 & 0 & 1 & -1

\end{vmatrix} = 0 \cdot C_{21} + 3 \cdot C_{22} + 0 \cdot C_{23} + 2 \cdot C_{24} = 3 \cdot C_{22} + 2 \cdot C_{24}$

ここで、$C_{ij}$ は $(i,j)$ 成分に関する余因子です。

$C_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 2x & 4 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2x & 4 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ -2 & 1 & -1 \end{vmatrix}$

$C_{24} = (-1)^{2+4} \begin{vmatrix} 2x & 5 & 4 \\ 3 & x & 1 \\ -2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 2x & 5 & 4 \\ 3 & x & 1 \\ -2 & 0 & 1 \end{vmatrix}$

次に、$C_{22}$と$C_{24}$を計算します。

$C_{22} = 2x(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 1) - 4(3 \cdot (-1) - 0 \cdot (-2)) + 2(3 \cdot 1 - 1 \cdot (-2)) = 2x(-1) - 4(-3) + 2(5) = -2x + 12 + 10 = -2x + 22$

$C_{24} = 2x(x \cdot 1 - 1 \cdot 0) - 5(3 \cdot 1 - 1 \cdot (-2)) + 4(3 \cdot 0 - x \cdot (-2)) = 2x(x) - 5(3+2) + 4(2x) = 2x^2 - 25 + 8x = 2x^2 + 8x - 25$

したがって、行列式は次のようになります。

$3C_{22} + 2C_{24} = 3(-2x + 22) + 2(2x^2 + 8x - 25) = -6x + 66 + 4x^2 + 16x - 50 = 4x^2 + 10x + 16$

3. 最終的な答え

$4x^2 + 10x + 16$