直線 $y = \frac{1}{5}x - 3$ が $x$ 軸と交わる点の座標を求めよ。

## 問題 (6)

1. 問題の内容

直線 $y = \frac{1}{5}x - 3$ が $x$ 軸と交わる点の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

$x$ 軸と交わる点は、$y$ 座標が $0$ になる点である。したがって、$y = 0$ を与えられた直線の方程式に代入し、$x$ の値を求める。

$$0 = \frac{1}{5}x - 3$$

両辺に $5$ を掛けると、

$$0 = x - 15$$

$x$ について解くと、

$$x = 15$$

したがって、$x$ 軸と交わる点の座標は $(15, 0)$ である。

3. 最終的な答え

(15, 0)

## 問題 (7)

1. 問題の内容

図において、$\angle ACB = \angle ABD$, $AB = 4$cm, $AC = 12$cm, $BD = 3$cm のとき、線分 $BC$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

$\triangle ABD$ と $\triangle ACB$ において、

* $\angle ABD = \angle ACB$ （仮定）

* $\angle BAD = \angle CAB$ (共通)

したがって、2つの角がそれぞれ等しいので、$\triangle ABD \sim \triangle ACB$ である。

相似な図形では、対応する辺の比が等しいので、

$$AB:AC = BD:BC$$

与えられた値を代入すると、

$$4:12 = 3:BC$$

$$4BC = 12 \times 3 = 36$$

$$BC = \frac{36}{4} = 9$$

したがって、$BC = 9$ cm である。

3. 最終的な答え

9 cm

## 問題 (8)

1. 問題の内容

$9x^2 - 42xy + 49y^2$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

与えられた式は、$(ax + by)^2$ の形に因数分解できる可能性がある。

$(ax + by)^2 = a^2x^2 + 2abxy + b^2y^2$ であることを利用する。

$9x^2 = (3x)^2$ であり、$49y^2 = (7y)^2$ である。

したがって、$a = 3$, $b = -7$ (または $a = -3$, $b = 7$) と仮定する。

$2abxy = 2 \times 3x \times (-7y) = -42xy$ である。

したがって、

$$9x^2 - 42xy + 49y^2 = (3x - 7y)^2$$

3. 最終的な答え

$(3x - 7y)^2$