2次方程式 $x^2 - 3x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の2つの数解とする2次方程式を1つ作成する問題です。 (1) $1-\alpha, 1-\beta$ (2) $\alpha^2, \beta^2$

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 3x - 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とするとき、以下の2つの数解とする2次方程式を1つ作成する問題です。

(1) $1-\alpha, 1-\beta$

(2) $\alpha^2, \beta^2$

2. 解き方の手順

2次方程式 $x^2 - 3x - 1 = 0$ の解 $\alpha, \beta$ について、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 3$

$\alpha \beta = -1$

が成り立ちます。

(1) $1-\alpha, 1-\beta$ を解とする2次方程式を作成します。

解の和は、

$(1-\alpha) + (1-\beta) = 2 - (\alpha + \beta) = 2 - 3 = -1$

解の積は、

$(1-\alpha)(1-\beta) = 1 - (\alpha + \beta) + \alpha\beta = 1 - 3 + (-1) = -3$

よって、$1-\alpha, 1-\beta$ を解とする2次方程式は、

$x^2 + x - 3 = 0$

(2) $\alpha^2, \beta^2$ を解とする2次方程式を作成します。

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = 3^2 - 2(-1) = 9 + 2 = 11$

$\alpha^2 \beta^2 = (\alpha\beta)^2 = (-1)^2 = 1$

よって、$\alpha^2, \beta^2$ を解とする2次方程式は、

$x^2 - 11x + 1 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + x - 3 = 0$

(2) $x^2 - 11x + 1 = 0$