(1) 放物線 $y = 3x^2 + 6x + 2$ を $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動した放物線の方程式を $y = ax^2 + bx + c$ と表すとき、$a, b, c$ の値を求めよ。 (2) 2次関数 $y = 3x^2 + 6x + 1$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると、$y = 3x^2 - 42x + 156$ となる。$p, q$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 放物線 $y = 3x^2 + 6x + 2$ を $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動した放物線の方程式を $y = ax^2 + bx + c$ と表すとき、$a, b, c$ の値を求めよ。

(2) 2次関数 $y = 3x^2 + 6x + 1$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると、$y = 3x^2 - 42x + 156$ となる。$p, q$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

放物線 $y = 3x^2 + 6x + 2$ を $x$ 軸方向に $2$, $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動した放物線の方程式は、

$y - (-1) = 3(x-2)^2 + 6(x-2) + 2$

$y + 1 = 3(x^2 - 4x + 4) + 6x - 12 + 2$

$y + 1 = 3x^2 - 12x + 12 + 6x - 10$

$y = 3x^2 - 6x + 1$

したがって、$a = 3$, $b = -6$, $c = 1$

(2)

$y = 3x^2 + 6x + 1$ を $x$ 軸方向に $p$, $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した放物線の方程式は、

$y - q = 3(x-p)^2 + 6(x-p) + 1$

$y = 3(x^2 - 2px + p^2) + 6x - 6p + 1 + q$

$y = 3x^2 - 6px + 3p^2 + 6x - 6p + 1 + q$

$y = 3x^2 + (6 - 6p)x + 3p^2 - 6p + 1 + q$

これが $y = 3x^2 - 42x + 156$ と一致するので、

$6 - 6p = -42$

$3p^2 - 6p + 1 + q = 156$

最初の式から $6p = 48$, よって $p = 8$

これを2番目の式に代入すると、

$3(8^2) - 6(8) + 1 + q = 156$

$192 - 48 + 1 + q = 156$

$145 + q = 156$

$q = 11$

したがって、$p = 8$, $q = 11$

3. 最終的な答え

(1) $a = 3$, $b = -6$, $c = 1$

(2) $p = 8$, $q = 11$