行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$、 $B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$、 $C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ k & k+4 \end{pmatrix}$が与えられたとき、行列AとBが正則かどうかを調べ、正則である場合は、それぞれの逆行列を求める。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}$、 $B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}$、 $C = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ k & k+4 \end{pmatrix}$が与えられたとき、行列AとBが正則かどうかを調べ、正則である場合は、それぞれの逆行列を求める。

2. 解き方の手順

(1) 行列Aの正則性を確認する。

行列Aの行列式を計算する。行列式が0でなければ、Aは正則である。

$det(A) = (1)(5) - (-2)(1) = 5 + 2 = 7$

行列式が0でないので、Aは正則である。

Aの逆行列を求める。

$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{7} \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5/7 & 2/7 \\ -1/7 & 1/7 \end{pmatrix}$

(2) 行列Bの正則性を確認する。

行列Bの行列式を計算する。行列式が0でなければ、Bは正則である。

$det(B) = (2)(3) - (-1)(-5) = 6 - 5 = 1$

行列式が0でないので、Bは正則である。

Bの逆行列を求める。

$B^{-1} = \frac{1}{det(B)} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

Aは正則であり、$A^{-1} = \begin{pmatrix} 5/7 & 2/7 \\ -1/7 & 1/7 \end{pmatrix}$

Bは正則であり、$B^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$