(1) 連立不等式 $2x^2 + 11x + 5 < 0$ ...(1) $3x^2 - 10x - 8 \ge 0$ ...(2) について、(1)を満たすxの範囲、(2)を満たすxの範囲、および連立不等式の解を求める。 (2) 不等式 $x^2 - 2x - 8 < 2x - 2 < -x^2 + 6$ を解く。

1. 問題の内容

(1) 連立不等式

$2x^2 + 11x + 5 < 0$ ...(1)

$3x^2 - 10x - 8 \ge 0$ ...(2)

について、(1)を満たすxの範囲、(2)を満たすxの範囲、および連立不等式の解を求める。

(2) 不等式 $x^2 - 2x - 8 < 2x - 2 < -x^2 + 6$ を解く。

2. 解き方の手順

(1)

まず、不等式(1)を解く。

$2x^2 + 11x + 5 < 0$

$(2x + 1)(x + 5) < 0$

$-5 < x < -\frac{1}{2}$

次に、不等式(2)を解く。

$3x^2 - 10x - 8 \ge 0$

$(3x + 2)(x - 4) \ge 0$

$x \le -\frac{2}{3}$ または $x \ge 4$

したがって、連立不等式の解は、$-5 < x < -\frac{1}{2}$ と $x \le -\frac{2}{3}$ または $x \ge 4$ の共通範囲である。

$-5 < x \le -\frac{2}{3}$

(2)

$x^2 - 2x - 8 < 2x - 2 < -x^2 + 6$ を解くためには、

$x^2 - 2x - 8 < 2x - 2$ ...(3)

$2x - 2 < -x^2 + 6$ ...(4)

をそれぞれ解き、共通範囲を求める。

(3)より

$x^2 - 4x - 6 < 0$

解の公式を用いて、

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 24}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{40}}{2} = 2 \pm \sqrt{10}$

よって、

$2 - \sqrt{10} < x < 2 + \sqrt{10}$

(4)より

$x^2 + 2x - 8 < 0$

$(x + 4)(x - 2) < 0$

$-4 < x < 2$

したがって、連立不等式の解は、

$2 - \sqrt{10} < x < 2 + \sqrt{10}$ と $-4 < x < 2$ の共通範囲である。

ここで、$\sqrt{10} \approx 3.16$ なので、

$2 - 3.16 < x < 2 + 3.16$

$-1.16 < x < 5.16$

したがって、共通範囲は、$-1.16 < x < 2$ より $-1.16<x<2$. つまり、

$2 - \sqrt{10} < x < 2$

3. 最終的な答え

(1)

(1)を満たすxの範囲: $-5 < x < -\frac{1}{2}$

(2)を満たすxの範囲: $x \le -\frac{2}{3}$ または $x \ge 4$

連立不等式の解: $-5 < x \le -\frac{2}{3}$

(2)

$2 - \sqrt{10} < x < 2$