ベクトル $\vec{a} = (4, 3)$, $\vec{b} = (t+3, t)$, $\vec{c} = (1, 3)$ が与えられています。 $\vec{a} + \vec{b}$ と $4\vec{a} - \vec{c}$ が平行であるとき、$t$ の値を求めます。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (4, 3)$, $\vec{b} = (t+3, t)$, $\vec{c} = (1, 3)$ が与えられています。

$\vec{a} + \vec{b}$ と $4\vec{a} - \vec{c}$ が平行であるとき、$t$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a} + \vec{b}$ と $4\vec{a} - \vec{c}$ を計算します。

$\vec{a} + \vec{b} = (4, 3) + (t+3, t) = (4 + t + 3, 3 + t) = (t+7, t+3)$

$4\vec{a} - \vec{c} = 4(4, 3) - (1, 3) = (16, 12) - (1, 3) = (16 - 1, 12 - 3) = (15, 9)$

$\vec{a} + \vec{b}$ と $4\vec{a} - \vec{c}$ が平行である条件は、ある実数 $k$ が存在して、$\vec{a} + \vec{b} = k(4\vec{a} - \vec{c})$ となることです。

つまり、

$(t+7, t+3) = k(15, 9) = (15k, 9k)$

これから、以下の連立方程式が得られます。

$t+7 = 15k$

$t+3 = 9k$

上の式から下の式を引くと、

$(t+7) - (t+3) = 15k - 9k$

$4 = 6k$

$k = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

これを $t+3 = 9k$ に代入すると、

$t+3 = 9 \cdot \frac{2}{3}$

$t+3 = 6$

$t = 6 - 3$

$t = 3$

3. 最終的な答え

$t = 3$