与えられた式を計算して簡単にします。式は、 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3} + 1} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた式を計算して簡単にします。式は、

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3} + 1} - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$

です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数の分母を有理化します。

最初の分数 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3} + 1}$ の分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{3} - 1$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{5}(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{3 - 1} = \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{2}$

次の分数 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ の分母を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{15} - 3}{5 - 3} = \frac{\sqrt{15} - 3}{2}$

したがって、与えられた式は以下のようになります。

$\frac{\sqrt{15} - \sqrt{5}}{2} - \frac{\sqrt{15} - 3}{2} = \frac{(\sqrt{15} - \sqrt{5}) - (\sqrt{15} - 3)}{2}$

$= \frac{\sqrt{15} - \sqrt{5} - \sqrt{15} + 3}{2} = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$