(1) 次の値を求めます。(ウ)は根号（√）のない形にします。 (ア) $\sqrt{(-5)^2}$ (イ) $\sqrt{(-8)(-2)}$ (ウ) $\sqrt{a^2b^2}$ (ただし、$a > 0$, $b < 0$) (2) 次の式を計算します。 (ア) $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48}$ (イ) $(\sqrt{11} - \sqrt{3})(\sqrt{11} + \sqrt{3})$ (ウ) $(2\sqrt{2} - \sqrt{27})^2$ (エ) $(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})$

はい、承知いたしました。与えられた数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) 次の値を求めます。(ウ)は根号（√）のない形にします。

(ア) $\sqrt{(-5)^2}$

(イ) $\sqrt{(-8)(-2)}$

(ウ) $\sqrt{a^2b^2}$ (ただし、$a > 0$, $b < 0$)

(2) 次の式を計算します。

(ア) $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48}$

(イ) $(\sqrt{11} - \sqrt{3})(\sqrt{11} + \sqrt{3})$

(ウ) $(2\sqrt{2} - \sqrt{27})^2$

(エ) $(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5})$

2. 解き方の手順

(1)

(ア) $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$

(イ) $\sqrt{(-8)(-2)} = \sqrt{16} = 4$

(ウ) $\sqrt{a^2b^2} = |a||b|$.

ここで、$a > 0$ より $|a| = a$, $b < 0$ より $|b| = -b$.

したがって、$\sqrt{a^2b^2} = -ab$

(2)

(ア)

$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}$

$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$

$\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = (2 + 3 - 4)\sqrt{3} = \sqrt{3}$

(イ) 和と差の積の公式 $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ を利用します。

$(\sqrt{11} - \sqrt{3})(\sqrt{11} + \sqrt{3}) = (\sqrt{11})^2 - (\sqrt{3})^2 = 11 - 3 = 8$

(ウ)

$(2\sqrt{2} - \sqrt{27})^2 = (2\sqrt{2})^2 - 2(2\sqrt{2})(\sqrt{27}) + (\sqrt{27})^2$

$= 4(2) - 4\sqrt{54} + 27 = 8 - 4\sqrt{9 \times 6} + 27 = 35 - 4(3\sqrt{6}) = 35 - 12\sqrt{6}$

(エ)

$(\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5})(\sqrt{2} + \sqrt{3} - \sqrt{5}) = ((\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{5})((\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \sqrt{5})$

$= (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 - (\sqrt{5})^2 = (\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}\sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 - 5$

$= 2 + 2\sqrt{6} + 3 - 5 = 2\sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1)

(ア) 5

(イ) 4

(ウ) $-ab$

(2)

(ア) $\sqrt{3}$

(イ) 8

(ウ) $35 - 12\sqrt{6}$

(エ) $2\sqrt{6}$