与えられた4つの2重根号の式を簡単にすること。 (1) $\sqrt{11+2\sqrt{30}}$ (2) $\sqrt{9-2\sqrt{14}}$ (3) $\sqrt{10-\sqrt{84}}$ (4) $\sqrt{6+\sqrt{35}}$

1. 問題の内容

与えられた4つの2重根号の式を簡単にすること。

(1) $\sqrt{11+2\sqrt{30}}$

(2) $\sqrt{9-2\sqrt{14}}$

(3) $\sqrt{10-\sqrt{84}}$

(4) $\sqrt{6+\sqrt{35}}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{11+2\sqrt{30}}$

$\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}} = \sqrt{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2} = \sqrt{a}+\sqrt{b}$を利用する。

$11 = 5+6$、 $30=5\times6$なので、

$\sqrt{11+2\sqrt{30}} = \sqrt{5+6+2\sqrt{5\times6}} = \sqrt{(\sqrt{5}+\sqrt{6})^2} = \sqrt{5}+\sqrt{6}$

(2) $\sqrt{9-2\sqrt{14}}$

$\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}} = \sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} = |\sqrt{a}-\sqrt{b}|$を利用する。

$9=7+2$、 $14=7\times2$なので、

$\sqrt{9-2\sqrt{14}} = \sqrt{7+2-2\sqrt{7\times2}} = \sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{2})^2} = |\sqrt{7}-\sqrt{2}| = \sqrt{7}-\sqrt{2}$

(3) $\sqrt{10-\sqrt{84}}$

$\sqrt{10-\sqrt{84}}=\sqrt{10-2\sqrt{21}}$と変形する。

$10=7+3$、 $21=7\times3$なので、

$\sqrt{10-2\sqrt{21}} = \sqrt{7+3-2\sqrt{7\times3}} = \sqrt{(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2} = |\sqrt{7}-\sqrt{3}| = \sqrt{7}-\sqrt{3}$

(4) $\sqrt{6+\sqrt{35}}$

$\sqrt{6+\sqrt{35}}=\sqrt{\frac{12+2\sqrt{35}}{2}}=\frac{\sqrt{12+2\sqrt{35}}}{\sqrt{2}}$と変形する。

$12=7+5$、$35=7\times5$なので、

$\frac{\sqrt{12+2\sqrt{35}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7+5+2\sqrt{7\times5}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(\sqrt{7}+\sqrt{5})^2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{14}+\sqrt{10}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{6}+\sqrt{5}$

(2) $\sqrt{7}-\sqrt{2}$

(3) $\sqrt{7}-\sqrt{3}$

(4) $\frac{\sqrt{14}+\sqrt{10}}{2}$