与えられた4つの式について、分母を有理化し、可能な限り簡単にすることを求められています。

1. 問題の内容

与えられた4つの式について、分母を有理化し、可能な限り簡単にすることを求められています。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{4}{3\sqrt{6}}$ の有理化

分母と分子に $\sqrt{6}$ を掛けます。

$\frac{4}{3\sqrt{6}} = \frac{4\sqrt{6}}{3(\sqrt{6})^2} = \frac{4\sqrt{6}}{3 \cdot 6} = \frac{4\sqrt{6}}{18} = \frac{2\sqrt{6}}{9}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}}$ の有理化

分母と分子に $\sqrt{7} - \sqrt{6}$ を掛けます。

$\frac{1}{\sqrt{7} + \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{(\sqrt{7} + \sqrt{6})(\sqrt{7} - \sqrt{6})} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{6})^2} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{7 - 6} = \frac{\sqrt{7} - \sqrt{6}}{1} = \sqrt{7} - \sqrt{6}$

(3) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$ の有理化

分母と分子に $\sqrt{5} - \sqrt{3}$ を掛けます。

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})} = \frac{\sqrt{15} - 3}{5 - 3} = \frac{\sqrt{15} - 3}{2}$

(4) $\frac{4}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$ の有理化

まず、$1+\sqrt{2} = x$ と置くと、式は$\frac{4}{x + \sqrt{3}}$ となります。

分母と分子に $x-\sqrt{3}$ を掛けて、

$\frac{4}{x+\sqrt{3}} = \frac{4(x-\sqrt{3})}{(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})} = \frac{4(x-\sqrt{3})}{x^2 - 3} = \frac{4(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}{(1+\sqrt{2})^2 - 3} = \frac{4(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}{1+2\sqrt{2}+2-3} = \frac{4(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}{2\sqrt{2}} = \frac{2(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}{\sqrt{2}}$

さらに、分母と分子に$\sqrt{2}$を掛けます。

$\frac{2\sqrt{2}(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})}{2} = \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2\sqrt{6}}{9}$

(2) $\sqrt{7} - \sqrt{6}$

(3) $\frac{\sqrt{15} - 3}{2}$

(4) $2 + \sqrt{2} - \sqrt{6}$