与えられた数式の値を求めます。数式は $\frac{4}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の値を求めます。数式は $\frac{4}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}}$ です。

2. 解き方の手順

まず、分母の有理化を行います。

分母を $1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} = (1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}$ と見て、$(1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3}$ を分母と分子に掛けます。

$\frac{4}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{4}{(1 + \sqrt{2}) + \sqrt{3}} \cdot \frac{(1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3}}{(1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3}}$

$= \frac{4((1 + \sqrt{2}) - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2}$

$= \frac{4(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})}{1 + 2\sqrt{2} + 2 - 3}$

$= \frac{4(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})}{2\sqrt{2}}$

$= \frac{2(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})}{\sqrt{2}}$

次に、分母の $\sqrt{2}$ を有理化するために、分母と分子に $\sqrt{2}$ を掛けます。

$\frac{2(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})}{\sqrt{2}} = \frac{2(1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})\sqrt{2}}{(\sqrt{2})(\sqrt{2})}$

$= \frac{2(\sqrt{2} + 2 - \sqrt{6})}{2}$

$= \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2} + 2 - \sqrt{6}$