関数 $f(x) = x^2 + 3x + m$ の $m \le x \le m+2$ における最小値を $g$ とおく。$m > -\frac{3}{2}$ のとき、$g$ を $m$ を用いて表せ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 + 3x + m$ の $m \le x \le m+2$ における最小値を $g$ とおく。$m > -\frac{3}{2}$ のとき、$g$ を $m$ を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成する。

$f(x) = x^2 + 3x + m = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + m$

軸 $x = -\frac{3}{2}$ と定義域 $m \le x \le m+2$ の位置関係を考慮する。

$m > -\frac{3}{2}$ のとき、区間 $m \le x \le m+2$ は軸 $x = -\frac{3}{2}$ より右側にある。

したがって、区間内で $f(x)$ は単調増加である。

このとき、最小値は $x = m$ でとる。

よって、$g = f(m)$ を計算する。

$g = f(m) = m^2 + 3m + m = m^2 + 4m$

3. 最終的な答え

$g = m^2 + 4m$