与えられた式 $(b+c)(c+a)(a+b) + abc$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $(b+c)(c+a)(a+b) + abc$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$(b+c)(c+a)(a+b)$ を展開します。

$(b+c)(c+a)(a+b) = (bc + ab + c^2 + ac)(a+b)$

$= abc + b^2c + ac^2 + a^2c + a^2b + ab^2 + abc + bc^2$

$= a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc$

したがって、与えられた式は

$a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 2abc + abc = a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc$

この式を因数分解します。対称式なので、$(a+b)(b+c)(c+a)$の形になることを予想して、展開した式と比較して因数分解します。

$a$について整理します。

$(b+c)a^2 + (b^2 + 3bc + c^2)a + bc(b+c)$

$= (a+b)(a+c)(b+c)$を展開すると

$a^2(b+c) + a(b^2 + 2bc + c^2) + bc(b+c) = a^2(b+c) + a((b+c)^2) + bc(b+c) = (b+c)(a^2+a(b+c)+bc) = (b+c)(a+b)(a+c) = (a+b)(b+c)(c+a)$

$a^2b + a^2c + b^2a + b^2c + c^2a + c^2b + 3abc = (a+b)(b+c)(c+a)$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$