与えられた式 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開する。

$a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b) = a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b$

次に、式を整理して、$a$についてまとめる。

$a^2b - a^2c + b^2c - b^2a + c^2a - c^2b = (b-c)a^2 - (b^2-c^2)a + (b^2c - c^2b)$

$(b^2-c^2)$を$(b-c)(b+c)$に、$b^2c - c^2b$を$bc(b-c)$に因数分解する。

$(b-c)a^2 - (b^2-c^2)a + (b^2c - c^2b) = (b-c)a^2 - (b-c)(b+c)a + bc(b-c)$

$(b-c)$を共通因数としてくくり出す。

$(b-c)a^2 - (b-c)(b+c)a + bc(b-c) = (b-c)[a^2 - (b+c)a + bc]$

次に、$a^2 - (b+c)a + bc$を因数分解する。

$a^2 - (b+c)a + bc = a^2 - ba - ca + bc = a(a-b) - c(a-b) = (a-b)(a-c)$

したがって、与えられた式は次のように因数分解できる。

$(b-c)[a^2 - (b+c)a + bc] = (b-c)(a-b)(a-c)$

最後に、符号を調整するために、$(b-c)$を$-(c-b)$に置き換える。

$(b-c)(a-b)(a-c) = -(c-b)(a-b)(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)$