(1) 正の数 $a$, $b$ に対して、$\frac{a^3 + b^3}{2}$ と $(\frac{a+b}{2})^3$ の大小を比較する。 (2) $\sqrt[3]{10}$ と $\sqrt[3]{\frac{3}{2}} + 1$ の大小を比較する。

1. 問題の内容

(1) 正の数 $a$, $b$ に対して、$\frac{a^3 + b^3}{2}$ と $(\frac{a+b}{2})^3$ の大小を比較する。

(2) $\sqrt[3]{10}$ と $\sqrt[3]{\frac{3}{2}} + 1$ の大小を比較する。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{a^3 + b^3}{2}$ と $(\frac{a+b}{2})^3$ の差を考える。

$\frac{a^3 + b^3}{2} - (\frac{a+b}{2})^3 = \frac{a^3 + b^3}{2} - \frac{(a+b)^3}{8} = \frac{4(a^3 + b^3) - (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3)}{8} = \frac{3a^3 - 3a^2b - 3ab^2 + 3b^3}{8} = \frac{3(a^3 - a^2b - ab^2 + b^3)}{8} = \frac{3(a^2(a-b) - b^2(a-b))}{8} = \frac{3(a-b)(a^2 - b^2)}{8} = \frac{3(a-b)(a-b)(a+b)}{8} = \frac{3(a-b)^2(a+b)}{8}$

$a>0, b>0$ より、$a+b > 0$。また、$(a-b)^2 \ge 0$。

したがって、$\frac{3(a-b)^2(a+b)}{8} \ge 0$。

つまり、$\frac{a^3 + b^3}{2} - (\frac{a+b}{2})^3 \ge 0$。

等号が成立するのは $a=b$ のときである。

よって、$\frac{a^3 + b^3}{2} \ge (\frac{a+b}{2})^3$。

(2) $\sqrt[3]{10}$ と $\sqrt[3]{\frac{3}{2}} + 1$ の大小を比較する。

$A = \sqrt[3]{10}$, $B = \sqrt[3]{\frac{3}{2}} + 1$ とする。

$A^3 = 10$

$B^3 = (\sqrt[3]{\frac{3}{2}} + 1)^3 = (\sqrt[3]{\frac{3}{2}})^3 + 3(\sqrt[3]{\frac{3}{2}})^2(1) + 3(\sqrt[3]{\frac{3}{2}})(1)^2 + 1^3 = \frac{3}{2} + 3(\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}} + 3(\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}} + 1 = \frac{5}{2} + 3(\frac{3}{2})^{\frac{2}{3}} + 3(\frac{3}{2})^{\frac{1}{3}} = \frac{5}{2} + 3\sqrt[3]{\frac{9}{4}} + 3\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$

$A^3 - B^3 = 10 - (\frac{5}{2} + 3\sqrt[3]{\frac{9}{4}} + 3\sqrt[3]{\frac{3}{2}}) = \frac{15}{2} - 3(\sqrt[3]{\frac{9}{4}} + \sqrt[3]{\frac{3}{2}})$

$\frac{15}{6} = \frac{5}{2} = \sqrt[3]{(\frac{5}{2})^3} = \sqrt[3]{\frac{125}{8}} = \sqrt[3]{15.625}$

$\sqrt[3]{\frac{9}{4}} + \sqrt[3]{\frac{3}{2}} = \sqrt[3]{2.25} + \sqrt[3]{1.5}$

$(\sqrt[3]{2.25} + \sqrt[3]{1.5})^3 = 2.25 + 3(2.25)^{\frac{2}{3}}(1.5)^{\frac{1}{3}} + 3(2.25)^{\frac{1}{3}}(1.5)^{\frac{2}{3}} + 1.5 = 3.75 + 3(2.25)^{\frac{1}{3}}(1.5)^{\frac{1}{3}}(2.25^{\frac{1}{3}} + 1.5^{\frac{1}{3}}) = 3.75 + 3\sqrt[3]{3.375}(\sqrt[3]{2.25} + \sqrt[3]{1.5})$

$\sqrt[3]{3.375} = 1.5$

$(\sqrt[3]{2.25} + \sqrt[3]{1.5})^3 = 3.75 + 4.5(\sqrt[3]{2.25} + \sqrt[3]{1.5})$

$\sqrt[3]{\frac{9}{4}} + \sqrt[3]{\frac{3}{2}} \approx 1.31 + 1.14 = 2.45$

$\frac{15}{2} - 3(2.45) = 7.5 - 7.35 = 0.15 > 0$

したがって、$A^3 > B^3$。よって、$\sqrt[3]{10} > \sqrt[3]{\frac{3}{2}} + 1$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{a^3 + b^3}{2} \ge (\frac{a+b}{2})^3$

(2) $\sqrt[3]{10} > \sqrt[3]{\frac{3}{2}} + 1$