2次方程式 $x^2 - 2ax + 1 = 0$ が $0 < x < 3$ の範囲に異なる2つの実数解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2ax + 1 = 0$ が $0 < x < 3$ の範囲に異なる2つの実数解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

$f(x) = x^2 - 2ax + 1$ とおきます。

$f(x) = 0$ が $0 < x < 3$ の範囲に異なる2つの実数解を持つための条件は次の通りです。

(i) 判別式 $D > 0$

(ii) 軸 $0 < a < 3$

(iii) $f(0) > 0$

(iv) $f(3) > 0$

(i) $D = (-2a)^2 - 4(1)(1) = 4a^2 - 4 > 0$

$a^2 > 1$

$a < -1$ または $a > 1$

(ii) 軸は $x = a$ なので $0 < a < 3$

(iii) $f(0) = 0^2 - 2a(0) + 1 = 1 > 0$ (常に成立)

(iv) $f(3) = 3^2 - 2a(3) + 1 = 9 - 6a + 1 = 10 - 6a > 0$

$6a < 10$

$a < \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

以上の条件を全て満たす $a$ の範囲を求めます。

$a < -1$ または $a > 1$

$0 < a < 3$

$a < \frac{5}{3}$

より、

$1 < a < \frac{5}{3}$

3. 最終的な答え

$1 < a < \frac{5}{3}$