$x$ の方程式 $x^3 - (a+1)x + a = 0$ について、以下の問いに答えます。 (1) $a = -1$ および $a = 1$ のときの解をそれぞれ求めます。 (2) 異なる実数解の個数が3となるような $a$ の条件を求めます。 (3) 異なる実数解の個数が2となるような $a$ の条件を求めます。

1. 問題の内容

$x$ の方程式 $x^3 - (a+1)x + a = 0$ について、以下の問いに答えます。

(1) $a = -1$ および $a = 1$ のときの解をそれぞれ求めます。

(2) 異なる実数解の個数が3となるような $a$ の条件を求めます。

(3) 異なる実数解の個数が2となるような $a$ の条件を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a = -1$ のとき、方程式は $x^3 - (-1+1)x - 1 = 0$ つまり $x^3 - 1 = 0$ となります。これは $x^3 = 1$ と同値であり、$x = 1$ が解です。

また、$x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1) = 0$ と因数分解できるので、$x^2 + x + 1 = 0$ の解も求める必要があります。判別式 $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$ なので、これは実数解を持ちません。

したがって、$a = -1$ のときの解は $x = 1$ のみです。

$a = 1$ のとき、方程式は $x^3 - (1+1)x + 1 = 0$ つまり $x^3 - 2x + 1 = 0$ となります。

これは $x = 1$ を解に持つことがわかります。実際、$1^3 - 2 \cdot 1 + 1 = 0$ です。

よって、$x^3 - 2x + 1 = (x-1)(x^2 + x - 1) = 0$ と因数分解できます。

$x^2 + x - 1 = 0$ の解は、$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ となります。

したがって、$a = 1$ のときの解は $x = 1, \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$ です。

(2) $x^3 - (a+1)x + a = 0$ を変形します。

$x^3 - (a+1)x + a = x^3 - x - ax + a = x(x^2 - 1) - a(x - 1) = x(x-1)(x+1) - a(x-1) = (x-1)(x(x+1) - a) = (x-1)(x^2 + x - a) = 0$

よって、$x = 1$ は常に解です。

異なる実数解の個数が3となるのは、$x^2 + x - a = 0$ が $x = 1$ 以外の2つの異なる実数解を持つときです。

まず、$x = 1$ が解でない条件は、$1^2 + 1 - a \neq 0$ つまり $a \neq 2$ です。

次に、$x^2 + x - a = 0$ が異なる2つの実数解を持つ条件は、判別式 $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 1 + 4a > 0$ つまり $a > -\frac{1}{4}$ です。

したがって、異なる実数解の個数が3となる条件は、$a > -\frac{1}{4}$ かつ $a \neq 2$ です。

(3) 異なる実数解の個数が2となるのは、以下のいずれかの場合です。

(i) $x^2 + x - a = 0$ が重解を持ち、その重解が $x = 1$ でない場合。

$x^2 + x - a = 0$ が重解を持つのは、$D = 1 + 4a = 0$ つまり $a = -\frac{1}{4}$ のときです。

このとき、$x^2 + x + \frac{1}{4} = (x + \frac{1}{2})^2 = 0$ なので、重解は $x = -\frac{1}{2}$ です。これは $x = 1$ ではないので、条件を満たします。

(ii) $x^2 + x - a = 0$ が $x = 1$ を解に持ち、かつ $x = 1$ 以外の実数解を持たない場合。

$x = 1$ が $x^2 + x - a = 0$ の解となるのは、$1^2 + 1 - a = 0$ つまり $a = 2$ のときです。

このとき、$x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2) = 0$ なので、解は $x = 1, -2$ です。

したがって、この場合は異なる実数解は2つ（$x = 1, -2$）なので、条件を満たします。

以上より、異なる実数解の個数が2となる条件は、$a = -\frac{1}{4}$ または $a = 2$ です。

3. 最終的な答え

(1) $a = -1$ のとき、$x = 1$

$a = 1$ のとき、$x = 1, \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$

(2) $a > -\frac{1}{4}$ かつ $a \neq 2$

(3) $a = -\frac{1}{4}$ または $a = 2$