複素数 $z_1, z_2, z_3, \dots$ が $z_1=1$ および $z_{n+1} = \frac{1}{2}(1+i)z_n + \frac{1}{2}$ ($n=1,2,3,\dots$) によって定められる。 (1) $z_n$ を $n$ を用いて表せ。 (2) $z_{10}$ を求めよ。 (3) $z_n - \frac{1}{2}(1+i)$ が実数となるような自然数 $n$ をすべて求めよ。

1. 問題の内容

複素数 $z_1, z_2, z_3, \dots$ が $z_1=1$ および $z_{n+1} = \frac{1}{2}(1+i)z_n + \frac{1}{2}$ ($n=1,2,3,\dots$) によって定められる。

(1) $z_n$ を $n$ を用いて表せ。

(2) $z_{10}$ を求めよ。

(3) $z_n - \frac{1}{2}(1+i)$ が実数となるような自然数 $n$ をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $z_{n+1} = \frac{1}{2}(1+i)z_n + \frac{1}{2}$ を変形する。

$z_{n+1} - \alpha = \frac{1}{2}(1+i)(z_n - \alpha)$ となる $\alpha$ を求める。

$z_{n+1} = \frac{1}{2}(1+i)z_n + \frac{1}{2}$ より、$\alpha = \frac{1}{2}(1+i)\alpha + \frac{1}{2}$ を満たす $\alpha$ を求めればよい。

$\alpha = \frac{1}{2}(1+i)\alpha + \frac{1}{2}$ を解くと、

$2\alpha = (1+i)\alpha + 1$

$(1-i)\alpha = 1$

$\alpha = \frac{1}{1-i} = \frac{1+i}{(1-i)(1+i)} = \frac{1+i}{2}$

したがって、$z_{n+1} - \frac{1}{2}(1+i) = \frac{1}{2}(1+i)(z_n - \frac{1}{2}(1+i))$ である。

$w_n = z_n - \frac{1}{2}(1+i)$ とおくと、$w_{n+1} = \frac{1}{2}(1+i) w_n$ であり、$w_1 = z_1 - \frac{1}{2}(1+i) = 1 - \frac{1}{2}(1+i) = \frac{1}{2}(1-i)$ である。

数列 $\{w_n\}$ は初項 $\frac{1}{2}(1-i)$、公比 $\frac{1}{2}(1+i)$ の等比数列である。

したがって、$w_n = \frac{1}{2}(1-i) \left(\frac{1}{2}(1+i)\right)^{n-1}$ である。

$z_n = w_n + \frac{1}{2}(1+i) = \frac{1}{2}(1-i) \left(\frac{1}{2}(1+i)\right)^{n-1} + \frac{1}{2}(1+i)$

$z_n = \frac{1}{2}(1-i)\left(\frac{1}{\sqrt{2}} (\cos(\frac{\pi}{4}) + i \sin(\frac{\pi}{4}) \right)^{n-1} + \frac{1}{2}(1+i)$

$z_n = \frac{1}{2}(1-i) (\frac{1}{\sqrt{2}})^{n-1} \left( \cos(\frac{(n-1)\pi}{4}) + i \sin(\frac{(n-1)\pi}{4}) \right) + \frac{1}{2}(1+i)$

(2) $z_{10} = \frac{1}{2}(1-i) \left(\frac{1}{2}(1+i)\right)^9 + \frac{1}{2}(1+i) = \frac{1}{2}(1-i) \left(\frac{1}{\sqrt{2}} (\cos(\frac{\pi}{4}) + i \sin(\frac{\pi}{4}) \right)^9 + \frac{1}{2}(1+i)$

$z_{10} = \frac{1}{2}(1-i) (\frac{1}{\sqrt{2}})^9 (\cos(\frac{9\pi}{4}) + i \sin(\frac{9\pi}{4}) ) + \frac{1}{2}(1+i) = \frac{1}{2}(1-i) (\frac{1}{2^4 \sqrt{2}}) (\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2}(1+i) = \frac{1}{2}(1-i) \frac{1}{16} (\frac{1}{2} + \frac{i}{2}) + \frac{1}{2}(1+i) = \frac{1}{64} (1-i)(1+i) + \frac{1}{2}(1+i) = \frac{1}{64} (1+1) + \frac{1}{2} + \frac{i}{2} = \frac{1}{32} + \frac{1}{2} + \frac{i}{2} = \frac{17}{32} + \frac{16i}{32} = \frac{17}{32} + \frac{1}{2} i$

(3) $z_n - \frac{1}{2}(1+i) = \frac{1}{2}(1-i) \left(\frac{1}{2}(1+i)\right)^{n-1}$ が実数となる $n$ を求める。

$z_n - \frac{1}{2}(1+i) = w_n = \frac{1}{2}(1-i) \left( \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos(\frac{\pi}{4}) + i\sin(\frac{\pi}{4}) )\right)^{n-1} = \frac{1}{2}(1-i) (\frac{1}{\sqrt{2}})^{n-1} \left( \cos(\frac{(n-1)\pi}{4}) + i \sin(\frac{(n-1)\pi}{4}) \right)$

$w_n$ が実数であるためには、$\frac{1}{2}(1-i) (\cos(\frac{(n-1)\pi}{4}) + i \sin(\frac{(n-1)\pi}{4}) ) = a$ (実数) となる必要がある。

$\cos(\frac{(n-1)\pi}{4}) + i \sin(\frac{(n-1)\pi}{4}) = b + ci$ とする。

$\frac{1}{2}(1-i)(b+ci) = \frac{1}{2} (b+ci -bi + c) = \frac{1}{2} (b+c) + \frac{1}{2} (c-b)i$ が実数になるためには、$c-b=0$ である必要がある。

$b=c$ より、$\cos(\frac{(n-1)\pi}{4}) = \sin(\frac{(n-1)\pi}{4})$

$\frac{(n-1)\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + k\pi$ ($k$ は整数)

$n-1 = 1 + 4k$

$n = 2 + 4k$ ($k$ は整数)

$n$ は自然数なので、$n = 2, 6, 10, 14, \dots$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $z_n = \frac{1}{2}(1-i)\left(\frac{1}{2}(1+i)\right)^{n-1} + \frac{1}{2}(1+i)$

(2) $z_{10} = \frac{17}{32} + \frac{1}{2} i$

(3) $n = 4k+2$ ($k$ は0以上の整数)