(1) 全ての実数 $x$ に対して $ax^2 + (a+1)x + a < 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める。 (2) 2次不等式 $ax^2 + 8x + b > 0$ の解が $-1 < x < 5$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 全ての実数 $x$ に対して $ax^2 + (a+1)x + a < 0$ が成り立つような定数 $a$ の値の範囲を求める。

(2) 2次不等式 $ax^2 + 8x + b > 0$ の解が $-1 < x < 5$ であるとき、$a$ と $b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

$ax^2 + (a+1)x + a < 0$ が全ての実数 $x$ で成り立つためには、以下の条件を満たす必要がある。

* $a < 0$ (上に凸)

* 判別式 $D = (a+1)^2 - 4a^2 < 0$

判別式を計算すると、

$D = (a+1)^2 - 4a^2 = a^2 + 2a + 1 - 4a^2 = -3a^2 + 2a + 1 < 0$

$3a^2 - 2a - 1 > 0$

$(3a + 1)(a - 1) > 0$

$a < -\frac{1}{3}$ または $a > 1$

$a < 0$ の条件と合わせると、$a < -\frac{1}{3}$

(2)

$ax^2 + 8x + b > 0$ の解が $-1 < x < 5$ であることから、$ax^2 + 8x + b = 0$ の解が $x = -1$ と $x = 5$ であると考えられる。また、$a < 0$ である。

解と係数の関係より、

$-1 + 5 = -\frac{8}{a}$

$4 = -\frac{8}{a}$

$a = -2$

$(-1)(5) = \frac{b}{a}$

$-5 = \frac{b}{-2}$

$b = 10$

3. 最終的な答え

(1) $a < -\frac{1}{3}$

(2) $a = -2$, $b = 10$