$a$ を定数とする。2つの2次方程式 $2x^2 - ax - (2a + 2) = 0$ と $x^2 - (a+2)x + (a+7) = 0$ が共通解を1つだけ持つとき、その共通解と $a$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。2つの2次方程式 $2x^2 - ax - (2a + 2) = 0$ と $x^2 - (a+2)x + (a+7) = 0$ が共通解を1つだけ持つとき、その共通解と $a$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2つの二次方程式をそれぞれ (1), (2) とする。

(1) $2x^2 - ax - (2a + 2) = 0$

(2) $x^2 - (a+2)x + (a+7) = 0$

(1) - 2 * (2) を計算すると、

$2x^2 - ax - (2a + 2) - 2[x^2 - (a+2)x + (a+7)] = 0$

$2x^2 - ax - 2a - 2 - 2x^2 + 2(a+2)x - 2(a+7) = 0$

$2x^2 - ax - 2a - 2 - 2x^2 + 2ax + 4x - 2a - 14 = 0$

$ax + 4x - 4a - 16 = 0$

$(a+4)x - 4(a+4) = 0$

$(a+4)(x-4) = 0$

したがって、$a = -4$ または $x = 4$。

(i) $a = -4$ のとき

(1) は $2x^2 + 4x + 6 = 0$ すなわち $x^2 + 2x + 3 = 0$ となる。

(2) は $x^2 + 2x + 3 = 0$ となる。

判別式 $D = 2^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8 < 0$ より、(1) と (2) は共通の実数解を持たない。

したがって、$a = -4$ は不適。

(ii) $x = 4$ のとき

$x = 4$ を (1) に代入すると、

$2(4^2) - 4a - (2a + 2) = 0$

$32 - 4a - 2a - 2 = 0$

$30 - 6a = 0$

$6a = 30$

$a = 5$

$x = 4$ を (2) に代入すると、

$4^2 - (a+2)(4) + (a+7) = 0$

$16 - 4a - 8 + a + 7 = 0$

$15 - 3a = 0$

$3a = 15$

$a = 5$

よって、$a = 5$。

このとき、(1) は $2x^2 - 5x - 12 = 0$ となり、$(2x+3)(x-4) = 0$ より $x = 4, -\frac{3}{2}$。

(2) は $x^2 - 7x + 12 = 0$ となり、$(x-3)(x-4) = 0$ より $x = 4, 3$。

共通解は $x = 4$ のみである。

3. 最終的な答え

共通解は $4$ であり、$a = 5$ である。