複素数の計算問題です。 (1) $3i \times \sqrt{2i} - \sqrt{5i}$ (2) $(\sqrt{3i} + \sqrt{2i})^2$

1. 問題の内容

複素数の計算問題です。

(1) $3i \times \sqrt{2i} - \sqrt{5i}$

(2) $(\sqrt{3i} + \sqrt{2i})^2$

2. 解き方の手順

(1) $3i \times \sqrt{2i} - \sqrt{5i}$

まず、$i = e^{i\pi/2}$を利用して$\sqrt{i}$を計算します。

$\sqrt{i} = (e^{i\pi/2})^{1/2} = e^{i\pi/4} = \cos(\pi/4) + i \sin(\pi/4) = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}}$.

したがって、

$\sqrt{2i} = \sqrt{2} \sqrt{i} = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}} \right) = 1 + i$.

同様に、

$\sqrt{5i} = \sqrt{5} \sqrt{i} = \sqrt{5} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}} \right) = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} + i \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$.

よって、

\begin{align*}3i \times \sqrt{2i} - \sqrt{5i} &= 3i(1+i) - \left( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} + i \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \right) \\ &= 3i + 3i^2 - \frac{\sqrt{10}}{2} - i \frac{\sqrt{10}}{2} \\ &= 3i - 3 - \frac{\sqrt{10}}{2} - i \frac{\sqrt{10}}{2} \\ &= -3 - \frac{\sqrt{10}}{2} + i \left( 3 - \frac{\sqrt{10}}{2} \right)\end{align*}

(2) $(\sqrt{3i} + \sqrt{2i})^2$

展開します。

$(\sqrt{3i} + \sqrt{2i})^2 = (\sqrt{3i})^2 + 2 \sqrt{3i} \sqrt{2i} + (\sqrt{2i})^2 = 3i + 2 \sqrt{6i^2} + 2i = 5i + 2\sqrt{-6} = 5i + 2i\sqrt{6}$.

3. 最終的な答え

(1) $-3 - \frac{\sqrt{10}}{2} + i (3 - \frac{\sqrt{10}}{2})$

(2) $2i\sqrt{6} + 5i$