未知数 $x_1, x_2, x_3, x_4$ に関する連立一次方程式 $$ \begin{cases} x_1 - x_3 = 2 \\ 3x_1 + 3x_2 + x_3 + 2x_4 = 12 \\ 2x_1 + x_2 - 2x_3 + x_4 = 7 \end{cases} $$ について、拡大係数行列に掃き出し法を適用することで、解を持つかどうかを調べ、解が存在するならば求める。

1. 問題の内容

未知数 $x_1, x_2, x_3, x_4$ に関する連立一次方程式

$$$$

\begin{cases}

x_1 - x_3 = 2 \\

3x_1 + 3x_2 + x_3 + 2x_4 = 12 \\

2x_1 + x_2 - 2x_3 + x_4 = 7

\end{cases}

$$$$

について、拡大係数行列に掃き出し法を適用することで、解を持つかどうかを調べ、解が存在するならば求める。

2. 解き方の手順

与えられた連立一次方程式の拡大係数行列は

$$$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & 0 & 2 \\

3 & 3 & 1 & 2 & 12 \\

2 & 1 & -2 & 1 & 7

\end{pmatrix}

$$$$

である。

(2行目) - 3 * (1行目) と (3行目) - 2 * (1行目) を計算する。

$$$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & 0 & 2 \\

0 & 3 & 4 & 2 & 6 \\

0 & 1 & 0 & 1 & 3

\end{pmatrix}

$$$$

次に、3行目と2行目を入れ替える。

$$$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & 0 & 2 \\

0 & 1 & 0 & 1 & 3 \\

0 & 3 & 4 & 2 & 6

\end{pmatrix}

$$$$

次に、(3行目) - 3 * (2行目) を計算する。

$$$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & 0 & 2 \\

0 & 1 & 0 & 1 & 3 \\

0 & 0 & 4 & -1 & -3

\end{pmatrix}

$$$$

次に、3行目を4で割る。

$$$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & -1 & 0 & 2 \\

0 & 1 & 0 & 1 & 3 \\

0 & 0 & 1 & -1/4 & -3/4

\end{pmatrix}

$$$$

最後に (1行目) + (3行目) を計算する。

$$$$

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 & -1/4 & 5/4 \\

0 & 1 & 0 & 1 & 3 \\

0 & 0 & 1 & -1/4 & -3/4

\end{pmatrix}

$$$$

したがって、

$$$$

\begin{cases}

x_1 - \frac{1}{4}x_4 = \frac{5}{4} \\

x_2 + x_4 = 3 \\

x_3 - \frac{1}{4}x_4 = -\frac{3}{4}

\end{cases}

$$$$

$x_4 = t$ とおくと、

$$$$

\begin{cases}

x_1 = \frac{1}{4}t + \frac{5}{4} \\

x_2 = -t + 3 \\

x_3 = \frac{1}{4}t - \frac{3}{4} \\

x_4 = t

\end{cases}

$$$$

3. 最終的な答え

解は

$$$$

\begin{cases}

x_1 = \frac{1}{4}t + \frac{5}{4} \\

x_2 = -t + 3 \\

x_3 = \frac{1}{4}t - \frac{3}{4} \\

x_4 = t

\end{cases}

$$$$

(tは任意の実数)