与えられた5つの式を因数分解する問題です。 (1) $a(x+y) + 3b(x+y)$ (2) $4x^2 - 9$ (3) $3x^2 + 11xy + 6y^2$ (4) $3x^2 - xy - 2y^2 - 2x - 3y - 1$ (5) $(a-b-1)(a-b-3) + 1$

1. 問題の内容

与えられた5つの式を因数分解する問題です。

(1) $a(x+y) + 3b(x+y)$

(2) $4x^2 - 9$

(3) $3x^2 + 11xy + 6y^2$

(4) $3x^2 - xy - 2y^2 - 2x - 3y - 1$

(5) $(a-b-1)(a-b-3) + 1$

2. 解き方の手順

(1) $a(x+y) + 3b(x+y)$

共通因数 $(x+y)$ でくくり出す。

$(x+y)(a + 3b)$

(2) $4x^2 - 9$

これは $(2x)^2 - 3^2$ と見なせるので、二乗の差の公式 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を利用する。

$(2x)^2 - 3^2 = (2x + 3)(2x - 3)$

(3) $3x^2 + 11xy + 6y^2$

$3x^2 + 11xy + 6y^2 = (3x + 2y)(x+3y)$

たすき掛けを用いて因数分解する。

(4) $3x^2 - xy - 2y^2 - 2x - 3y - 1$

まず、$3x^2 - xy - 2y^2$ の部分を因数分解する。

$3x^2 - xy - 2y^2 = (3x + 2y)(x - y)$

与えられた式全体を因数分解することを考えると、

$(3x + 2y + 1)(x - y - 1)$

を展開すると、

$3x^2 - 3xy - 3x + 2xy - 2y^2 - 2y + x - y - 1 = 3x^2 - xy - 2y^2 - 2x - 3y - 1$

よって、 $(3x + 2y + 1)(x - y - 1)$

(5) $(a-b-1)(a-b-3) + 1$

$a-b = A$ とおくと、

$(A-1)(A-3) + 1 = A^2 - 4A + 3 + 1 = A^2 - 4A + 4 = (A-2)^2$

$A = a-b$ を代入すると、

$(a-b-2)^2$

3. 最終的な答え

(1) $(x+y)(a+3b)$

(2) $(2x+3)(2x-3)$

(3) $(3x+2y)(x+3y)$

(4) $(3x+2y+1)(x-y-1)$

(5) $(a-b-2)^2$