与えられた5つの式を因数分解する問題です。 (1) $49a^2 - 14ab + b^2$ (2) $x^2 - 4x - 12$ (3) $8x^2 + 6xy - 27y^2$ (4) $2a^2 - b^2 + ab - bc + 2ca$ (5) $(x^2 + 2x)^2 - 18(x^2 + 2x) + 45$

はい、承知いたしました。画像に写っている因数分解の問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた5つの式を因数分解する問題です。

(1) $49a^2 - 14ab + b^2$

(2) $x^2 - 4x - 12$

(3) $8x^2 + 6xy - 27y^2$

(4) $2a^2 - b^2 + ab - bc + 2ca$

(5) $(x^2 + 2x)^2 - 18(x^2 + 2x) + 45$

2. 解き方の手順

(1) $49a^2 - 14ab + b^2$

これは $(7a)^2 - 2(7a)(b) + b^2$ の形をしているので、$(A - B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$ の公式を利用します。

$49a^2 - 14ab + b^2 = (7a - b)^2$

(2) $x^2 - 4x - 12$

2つの数を掛けて -12、足して -4 となる数を見つけます。その数は -6 と 2 です。

$x^2 - 4x - 12 = (x - 6)(x + 2)$

(3) $8x^2 + 6xy - 27y^2$

たすき掛けを利用します。

$8x^2 + 6xy - 27y^2 = (4x + 9y)(2x - 3y)$

(4) $2a^2 - b^2 + ab - bc + 2ca$

$a$ について整理すると $2a^2 + (b + 2c)a - (b^2 + bc)$となります。

$2a^2 + (b+2c)a - b(b+c) = (2a - b +2c)(a+b)$.

与えられた式は

$2a^2 + ab + 2ca - b^2 - bc= 2a^2+ab+2ac-b(b+c)=2a^2 + (b+2c)a - (b^2+bc) = (2a-b+2c)(a+b)$

(5) $(x^2 + 2x)^2 - 18(x^2 + 2x) + 45$

$A = x^2 + 2x$ と置換します。

$A^2 - 18A + 45$

2つの数を掛けて 45、足して -18 となる数を見つけます。その数は -15 と -3 です。

$A^2 - 18A + 45 = (A - 15)(A - 3)$

$A$ を元に戻します。

$(x^2 + 2x - 15)(x^2 + 2x - 3)$

さらに因数分解します。

$x^2 + 2x - 15 = (x + 5)(x - 3)$

$x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1)$

$(x^2 + 2x - 15)(x^2 + 2x - 3) = (x + 5)(x - 3)(x + 3)(x - 1)$

3. 最終的な答え

(1) $(7a - b)^2$

(2) $(x - 6)(x + 2)$

(3) $(4x + 9y)(2x - 3y)$

(4) $(2a - b+2c)(a + b)$

(5) $(x + 5)(x - 3)(x + 3)(x - 1)$