与えられた3つの多項式を因数分解する問題です。 (1) $x^3 - x^2 - xy^2 + y^2$ (2) $x^2 + 4xy + 3y^2 - x + y - 2$ (3) $5x^2 + 7xy + 2y^2 - 2x + y - 3$

1. 問題の内容

与えられた3つの多項式を因数分解する問題です。

(1) $x^3 - x^2 - xy^2 + y^2$

(2) $x^2 + 4xy + 3y^2 - x + y - 2$

(3) $5x^2 + 7xy + 2y^2 - 2x + y - 3$

2. 解き方の手順

(1) $x^3 - x^2 - xy^2 + y^2$を因数分解します。

まず、$x^2$と$y^2$でグループ化します。

$x^3 - x^2 - xy^2 + y^2 = x^2(x - 1) - y^2(x - 1)$

共通因数$(x - 1)$でくくります。

$x^2(x - 1) - y^2(x - 1) = (x - 1)(x^2 - y^2)$

$(x^2 - y^2)$は $(x + y)(x - y)$に因数分解できるので、

$(x - 1)(x^2 - y^2) = (x - 1)(x + y)(x - y)$

(2) $x^2 + 4xy + 3y^2 - x + y - 2$を因数分解します。

まず、$x$と$y$の2次式を因数分解します。

$x^2 + 4xy + 3y^2 = (x + y)(x + 3y)$

したがって、与えられた式は

$(x + y)(x + 3y) - x + y - 2$

ここで、$(x + y + a)(x + 3y + b)$ の形を仮定して展開すると

$(x + y + a)(x + 3y + b) = x^2 + 4xy + 3y^2 + (a + b)x + (3a + b)y + ab$

したがって、$a + b = -1$ かつ $3a + b = 1$ であり、$ab = -2$です。

これらの連立方程式を解くと、

$2a = 2$ より $a = 1$

$1 + b = -1$ より $b = -2$

$ab = 1 * (-2) = -2$なので条件を満たします。

したがって

$x^2 + 4xy + 3y^2 - x + y - 2 = (x + y + 1)(x + 3y - 2)$

(3) $5x^2 + 7xy + 2y^2 - 2x + y - 3$を因数分解します。

まず、$x$と$y$の2次式を因数分解します。

$5x^2 + 7xy + 2y^2 = (5x + 2y)(x + y)$

したがって、与えられた式は

$(5x + 2y)(x + y) - 2x + y - 3$

ここで、$(5x + 2y + a)(x + y + b)$ の形を仮定して展開すると

$(5x + 2y + a)(x + y + b) = 5x^2 + 7xy + 2y^2 + (5b + a)x + (2b + a)y + ab$

したがって、$5b + a = -2$ かつ $2b + a = 1$ であり、$ab = -3$です。

これらの連立方程式を解くと、

$3b = -3$ より $b = -1$

$5(-1) + a = -2$ より $a = 3$

$ab = 3 * (-1) = -3$なので条件を満たします。

したがって

$5x^2 + 7xy + 2y^2 - 2x + y - 3 = (5x + 2y + 3)(x + y - 1)$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 1)(x + y)(x - y)$

(2) $(x + y + 1)(x + 3y - 2)$

(3) $(5x + 2y + 3)(x + y - 1)$