与えられた8つの式を因数分解する問題です。 (1) $(a-b)^2 - c^2$ (2) $(a+b)^2 - 6(a+b) + 5$ (3) $(x+2)^2 - 6(x+2) - 16$ (4) $x^4 + 3x^2 + 2$ (5) $x^4 + 5x^2 - 6$ (6) $16a^4 - b^4$ (7) $81x^4 - 16y^4$ (8) $(a+b+3)(a+b-2) + 4$

1. 問題の内容

与えられた8つの式を因数分解する問題です。

(1) $(a-b)^2 - c^2$

(2) $(a+b)^2 - 6(a+b) + 5$

(3) $(x+2)^2 - 6(x+2) - 16$

(4) $x^4 + 3x^2 + 2$

(5) $x^4 + 5x^2 - 6$

(6) $16a^4 - b^4$

(7) $81x^4 - 16y^4$

(8) $(a+b+3)(a+b-2) + 4$

2. 解き方の手順

(1) 二乗の差の因数分解 $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を利用します。

$(a-b)^2 - c^2 = (a-b+c)(a-b-c)$

(2) $A = a+b$ とおくと、$A^2 - 6A + 5 = (A-1)(A-5)$ となります。

$A$ を元に戻すと、$(a+b-1)(a+b-5)$

(3) $A = x+2$ とおくと、$A^2 - 6A - 16 = (A-8)(A+2)$ となります。

$A$ を元に戻すと、$(x+2-8)(x+2+2) = (x-6)(x+4)$

(4) $A = x^2$ とおくと、$A^2 + 3A + 2 = (A+1)(A+2)$ となります。

$A$ を元に戻すと、$(x^2+1)(x^2+2)$

(5) $A = x^2$ とおくと、$A^2 + 5A - 6 = (A+6)(A-1)$ となります。

$A$ を元に戻すと、$(x^2+6)(x^2-1) = (x^2+6)(x+1)(x-1)$

(6) 二乗の差の因数分解を2回行います。

$16a^4 - b^4 = (4a^2)^2 - (b^2)^2 = (4a^2+b^2)(4a^2-b^2) = (4a^2+b^2)(2a+b)(2a-b)$

(7) 二乗の差の因数分解を2回行います。

$81x^4 - 16y^4 = (9x^2)^2 - (4y^2)^2 = (9x^2+4y^2)(9x^2-4y^2) = (9x^2+4y^2)(3x+2y)(3x-2y)$

(8) $A = a+b$ とおくと、$(A+3)(A-2)+4 = A^2 + A - 6 + 4 = A^2 + A - 2 = (A+2)(A-1)$ となります。

$A$ を元に戻すと、$(a+b+2)(a+b-1)$

3. 最終的な答え

(1) $(a-b+c)(a-b-c)$

(2) $(a+b-1)(a+b-5)$

(3) $(x-6)(x+4)$

(4) $(x^2+1)(x^2+2)$

(5) $(x^2+6)(x+1)(x-1)$

(6) $(4a^2+b^2)(2a+b)(2a-b)$

(7) $(9x^2+4y^2)(3x+2y)(3x-2y)$

(8) $(a+b+2)(a+b-1)$