与えられた8つの式を因数分解します。 (1) $x^2 - (y+z)^2$ (2) $x^2y^2 + 3xy + 2$ (3) $(a-1)^2 - 8(a-1) + 12$ (4) $x^4 + 5x^2 + 6$ (5) $x^4 - 5x^2 + 4$ (6) $a^4 - 16$ (7) $16x^4 - 81y^4$ (8) $(x-y-3)(x-y+5) + 7$

はい、承知いたしました。与えられた問題の因数分解を解きます。

1. 問題の内容

与えられた8つの式を因数分解します。

(1) $x^2 - (y+z)^2$

(2) $x^2y^2 + 3xy + 2$

(3) $(a-1)^2 - 8(a-1) + 12$

(4) $x^4 + 5x^2 + 6$

(5) $x^4 - 5x^2 + 4$

(6) $a^4 - 16$

(7) $16x^4 - 81y^4$

(8) $(x-y-3)(x-y+5) + 7$

2. 解き方の手順

(1) 二乗の差の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用します。

$x^2 - (y+z)^2 = (x + (y+z))(x - (y+z)) = (x+y+z)(x-y-z)$

(2) $xy = A$ と置換すると、$A^2 + 3A + 2$ となります。これを因数分解します。

$A^2 + 3A + 2 = (A+1)(A+2)$

$A$ を $xy$ に戻すと、

$(xy+1)(xy+2)$

(3) $a-1 = A$ と置換すると、$A^2 - 8A + 12$ となります。これを因数分解します。

$A^2 - 8A + 12 = (A-2)(A-6)$

$A$ を $a-1$ に戻すと、

$(a-1-2)(a-1-6) = (a-3)(a-7)$

(4) $x^2 = A$ と置換すると、$A^2 + 5A + 6$ となります。これを因数分解します。

$A^2 + 5A + 6 = (A+2)(A+3)$

$A$ を $x^2$ に戻すと、

$(x^2+2)(x^2+3)$

(5) $x^2 = A$ と置換すると、$A^2 - 5A + 4$ となります。これを因数分解します。

$A^2 - 5A + 4 = (A-1)(A-4)$

$A$ を $x^2$ に戻すと、

$(x^2-1)(x^2-4)$

さらに因数分解すると、

$(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$

(6) 二乗の差の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用します。

$a^4 - 16 = (a^2)^2 - 4^2 = (a^2+4)(a^2-4)$

さらに因数分解すると、

$(a^2+4)(a-2)(a+2)$

(7) 二乗の差の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ を利用します。

$16x^4 - 81y^4 = (4x^2)^2 - (9y^2)^2 = (4x^2+9y^2)(4x^2-9y^2)$

さらに因数分解すると、

$(4x^2+9y^2)(2x-3y)(2x+3y)$

(8) $x-y = A$ と置換すると、$(A-3)(A+5)+7$ となります。

$(A-3)(A+5)+7 = A^2 + 2A - 15 + 7 = A^2 + 2A - 8$

$A^2 + 2A - 8 = (A+4)(A-2)$

$A$ を $x-y$ に戻すと、

$(x-y+4)(x-y-2)$

3. 最終的な答え

(1) $(x+y+z)(x-y-z)$

(2) $(xy+1)(xy+2)$

(3) $(a-3)(a-7)$

(4) $(x^2+2)(x^2+3)$

(5) $(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$

(6) $(a^2+4)(a-2)(a+2)$

(7) $(4x^2+9y^2)(2x-3y)(2x+3y)$

(8) $(x-y+4)(x-y-2)$