1桁の自然数の集合を全体集合 $U$ とし、$U$ の部分集合 $A$, $B$ を次のように定義する。 $A = \{x | x \text{は8の正の約数} \}$, $B = \{x | x \text{は9の正の約数} \}$ このとき、$A \cap B$, $A \cup B$, $\overline{A \cap B}$ を求め、条件の否定、必要条件と十分条件の判定、命題の逆・裏・対偶とその真偽を判定する。

1. 問題の内容

1桁の自然数の集合を全体集合 $U$ とし、$U$ の部分集合 $A$, $B$ を次のように定義する。

$A = \{x | x \text{は8の正の約数} \}$, $B = \{x | x \text{は9の正の約数} \}$

このとき、$A \cap B$, $A \cup B$, $\overline{A \cap B}$ を求め、条件の否定、必要条件と十分条件の判定、命題の逆・裏・対偶とその真偽を判定する。

2. 解き方の手順

(1) 集合

$A = \{1, 2, 4, 8 \}$

$B = \{1, 3, 9 \}$

$A \cap B = \{1 \}$

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 8, 9 \}$

$\overline{A \cap B} = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \}$

(2) 条件の否定

「$x \le 0$ または $2 < x$」の否定は「$0 < x \le 2$」である。

「$0 \le x < 2$」の否定は「$x < 0$ または $2 \le x$」である。

(3) 必要条件と十分条件

(1) $x = 1$ は $x^2 = 1$ であるための十分条件である。($x = \pm 1$ より)

(2) $x < 1$ は $x^2 < 1$ であるための必要条件である。($-1 < x < 1$ より)

(4) 逆・裏・対偶

命題「$x = 0$ ならば $x^2 = x$」について

逆: $x^2 = x$ ならば $x = 0$ (偽、反例: $x = 1$)

裏: $x \neq 0$ ならば $x^2 \neq x$ (偽、反例: $x=1$)

対偶: $x^2 \neq x$ ならば $x \neq 0$ (真)

3. 最終的な答え

(1)

ア: 1

イ: 1

ウ: 2

エ: 3

オ: 4

カ: 8

キ: 9

ク: 2

ケ: 3

コ: 4

(2)

ア: ②

イ: ⓪

(3)

ア: ②

イ: ①

(4)

ア: ②

イ: ①

ウ: ⑤

エ: ①

オ: ③

カ: ⓪