与えられた実数に関する計算問題です。具体的には、循環小数の分数への変換、根号を含む式の計算、分母の有理化、式の値の計算、整数部分と小数部分の算出、二重根号の外し方が問われています。

1. 問題の内容

与えられた実数に関する計算問題です。具体的には、循環小数の分数への変換、根号を含む式の計算、分母の有理化、式の値の計算、整数部分と小数部分の算出、二重根号の外し方が問われています。

2. 解き方の手順

各問題ごとに手順を説明します。

1.

2. 42 の循環小数を分数で表す。

* $x = 2.424242...$ とおく。

* $100x = 242.424242...$

* $100x - x = 242.424242... - 2.424242...$

* $99x = 240$

* $x = \frac{240}{99} = \frac{80}{33}$

2. ($\sqrt{11}$ + $\sqrt{3}$)($\sqrt{11}$ - $\sqrt{3}$) を計算する。

* これは和と差の積なので、 $(\sqrt{11})^2 - (\sqrt{3})^2$ となる。

* $11 - 3 = 8$

3. $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}}$ の分母を有理化する。

* 分母の共役な式 $\sqrt{3} + \sqrt{2}$ を分母と分子にかける。

* $\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$

4. $x = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}, y = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$ のとき、以下の値を求める。

* (1) $x+y$

* $x = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2}{(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})} = \frac{2 + 2\sqrt{6} + 3}{2-3} = \frac{5 + 2\sqrt{6}}{-1} = -5 - 2\sqrt{6}$

* $y = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{(\sqrt{2} - \sqrt{3})^2}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})} = \frac{2 - 2\sqrt{6} + 3}{2-3} = \frac{5 - 2\sqrt{6}}{-1} = -5 + 2\sqrt{6}$

* $x+y = (-5 - 2\sqrt{6}) + (-5 + 2\sqrt{6}) = -10$

* (2) $xy$

* $xy = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3}}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{2} - \sqrt{3}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = 1$

* (3) $x^2 - xy + y^2$

* $x^2 - xy + y^2 = (x+y)^2 - 3xy = (-10)^2 - 3(1) = 100 - 3 = 97$

5. $1 + \sqrt{10}$ の整数部分を $a$ 、小数部分を $b$ とするとき、以下の値を求める。

* $\sqrt{9} < \sqrt{10} < \sqrt{16}$ より $3 < \sqrt{10} < 4$

* したがって $4 < 1 + \sqrt{10} < 5$ なので、整数部分 $a = 4$

* 小数部分 $b = (1 + \sqrt{10}) - 4 = \sqrt{10} - 3$

* (1) $a = 4$

* (2) $b = \sqrt{10} - 3$

* (3) $b^2 + \frac{1}{b^2}$

* $b^2 = (\sqrt{10} - 3)^2 = 10 - 6\sqrt{10} + 9 = 19 - 6\sqrt{10}$

* $\frac{1}{b} = \frac{1}{\sqrt{10} - 3} = \frac{\sqrt{10} + 3}{(\sqrt{10} - 3)(\sqrt{10} + 3)} = \frac{\sqrt{10} + 3}{10 - 9} = \sqrt{10} + 3$

* $\frac{1}{b^2} = (\sqrt{10} + 3)^2 = 10 + 6\sqrt{10} + 9 = 19 + 6\sqrt{10}$

* $b^2 + \frac{1}{b^2} = (19 - 6\sqrt{10}) + (19 + 6\sqrt{10}) = 38$

6. $\sqrt{7 + 2\sqrt{6}}$ の二重根号を外す。

* $\sqrt{a + b + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$ の形を目指す。

* $7 + 2\sqrt{6} = (6 + 1) + 2\sqrt{6 \times 1}$

* $\sqrt{7 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{6} + \sqrt{1} = \sqrt{6} + 1$

3. 最終的な答え

1. $\frac{80}{33}$

2. $8$

3. $\sqrt{3} + \sqrt{2}$

4. (1) $-10$

(2) $1$

(3) $97$

5. (1) $4$

(2) $\sqrt{10} - 3$

(3) $38$

6. $\sqrt{6} + 1$