(1) 7進法で表された数 $1515_{(7)}$ を10進法で表し、10進法で表された1515を7進法で表す。 (2) 2進法の小数 $0.111_{(2)}$ を10進法の小数で表す。 (3) 10進法で表された数 $23.32$ を、5進法で表す。 (4) 10進数の72を $n$ 進法で表すと $110_{(n)}$ となるとき、$n$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 7進法で表された数 $1515_{(7)}$ を10進法で表し、10進法で表された1515を7進法で表す。

(2) 2進法の小数 $0.111_{(2)}$ を10進法の小数で表す。

(3) 10進法で表された数 $23.32$ を、5進法で表す。

(4) 10進数の72を $n$ 進法で表すと $110_{(n)}$ となるとき、$n$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

7進法の $1515_{(7)}$ を10進法で表す。

$1515_{(7)} = 1 \times 7^3 + 5 \times 7^2 + 1 \times 7^1 + 5 \times 7^0 = 1 \times 343 + 5 \times 49 + 1 \times 7 + 5 \times 1 = 343 + 245 + 7 + 5 = 600$

次に、10進法の1515を7進法で表す。

1515を7で割ることを繰り返す。

$1515 \div 7 = 216$ あまり $3$

$216 \div 7 = 30$ あまり $6$

$30 \div 7 = 4$ あまり $2$

$4 \div 7 = 0$ あまり $4$

従って、$1515 = 4263_{(7)}$

(2)

2進法の小数 $0.111_{(2)}$ を10進法で表す。

$0.111_{(2)} = 1 \times 2^{-1} + 1 \times 2^{-2} + 1 \times 2^{-3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8} = 0.875$

(3)

10進法で表された数 $23.32$ を、5進法で表す。

まず、整数部分の23を5進法で表す。

$23 \div 5 = 4$ あまり $3$

$4 \div 5 = 0$ あまり $4$

よって、$23 = 43_{(5)}$

次に、小数部分の0.32を5進法で表す。

$0.32 \times 5 = 1.6$

$0.6 \times 5 = 3.0$

よって、$0.32 = 0.13_{(5)}$

従って、$23.32 = 43.13_{(5)}$

(4)

10進数の72を $n$ 進法で表すと $110_{(n)}$ となるとき、$n$ を求める。

$110_{(n)} = 1 \times n^2 + 1 \times n^1 + 0 \times n^0 = n^2 + n$

$n^2 + n = 72$

$n^2 + n - 72 = 0$

$(n+9)(n-8) = 0$

$n = -9$ または $n = 8$

$n$ は正の整数なので、$n = 8$

3. 最終的な答え

(1) 600, $4263_{(7)}$

(2) 0.875

(3) $43.13_{(5)}$

(4) 8