10円硬貨が5枚、100円硬貨が3枚、500円硬貨が3枚あるとき、これらの硬貨の全部または一部を使って支払うことができる金額は何通りあるか。

1. 問題の内容

10円硬貨が5枚、100円硬貨が3枚、500円硬貨が3枚あるとき、これらの硬貨の全部または一部を使って支払うことができる金額は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの硬貨の枚数による金額の組み合わせを考えます。

* 10円硬貨：0枚～5枚の6通り

* 100円硬貨：0枚～3枚の4通り

* 500円硬貨：0枚～3枚の4通り

これらの組み合わせの総数は、

$6 \times 4 \times 4 = 96$ 通りです。

ただし、この中には全ての硬貨を0枚使う場合、つまり0円の場合が含まれています。これは金額を支払う場合に該当しないので、1通りを引きます。

$96 - 1 = 95$ 通り。

次に、同じ金額になる組み合わせがないか確認します。

10円硬貨5枚は50円、100円硬貨3枚は300円、500円硬貨3枚は1500円まで作れます。

10円玉5枚で50円まで作れます。100円玉を使うことで、150円、250円、350円まで作れます。

500円玉を使うことで、例えば550円など作れます。

ここで、より簡単に計算する方法を考えます。

100円硬貨の3枚は、10円硬貨30枚分と考えることができます。

10円硬貨が5枚しかないため、そのまま計算することはできません。

しかし、100円硬貨をすべて10円硬貨に換算することを考えずに、10円硬貨で作れる金額と100円、500円で作れる金額を組み合わせることを考えます。

10円硬貨で作れる金額は0円から50円の6通りです。

100円硬貨3枚と500円硬貨3枚で作れる金額は、

0円, 100円, 200円, 300円, 500円, 600円, 700円, 800円, 1000円, 1100円, 1200円, 1300円, 1500円, 1600円, 1700円, 1800円

の16通りです。

これらの組み合わせを考えます。

6通りの10円硬貨の金額それぞれに、16通りの100円,500円硬貨の金額を足し合わせることができます。

$6 \times 16 = 96$

ただし、両方とも0円の場合が含まれているので、1を引きます。

$96 - 1 = 95$

例えば、

10円硬貨0枚, 100円硬貨0枚, 500円硬貨0枚のとき、0円

10円硬貨1枚, 100円硬貨0枚, 500円硬貨0枚のとき、10円

10円硬貨2枚, 100円硬貨0枚, 500円硬貨0枚のとき、20円

...

10円硬貨0枚, 100円硬貨1枚, 500円硬貨0枚のとき、100円

...

10円硬貨5枚, 100円硬貨3枚, 500円硬貨3枚のとき、1850円

ここで、金額が重複する場合を考えます。

10円硬貨5枚で50円作れます。100円硬貨1枚で100円作れます。

10円硬貨で10, 20, 30, 40, 50円が作れます。

100円硬貨と500円硬貨だけで、100, 200, 300, 500, 600, 700, 800, 1000, 1100, 1200, 1300, 1500, 1600, 1700, 1800円が作れます。

これらを足し合わせると、重複する金額がないことがわかります。

3. 最終的な答え

95通り