問題は、与えられた硬貨を全部または一部使って、ちょうど支払うことができる金額が何通りあるかを求める問題です。 (1) 10円硬貨5枚、100円硬貨3枚、500円硬貨3枚の場合 (2) 10円硬貨2枚、50円硬貨3枚、100円硬貨4枚の場合

1. 問題の内容

問題は、与えられた硬貨を全部または一部使って、ちょうど支払うことができる金額が何通りあるかを求める問題です。

(1) 10円硬貨5枚、100円硬貨3枚、500円硬貨3枚の場合

(2) 10円硬貨2枚、50円硬貨3枚、100円硬貨4枚の場合

2. 解き方の手順

(1)

まず、それぞれの硬貨の枚数に1を足し（使わない場合を含む）、それらを掛け合わせます。

10円硬貨は5枚なので、0枚から5枚までの6通り。

100円硬貨は3枚なので、0枚から3枚までの4通り。

500円硬貨は3枚なので、0枚から3枚までの4通り。

$6 \times 4 \times 4 = 96$

この中には、どの硬貨も1枚も使わない場合（0円）が含まれているので、それを取り除きます。

$96 - 1 = 95$

よって、95通りです。

(2)

10円硬貨は2枚なので、0枚から2枚までの3通り。

50円硬貨は3枚なので、0枚から3枚までの4通り。

100円硬貨は4枚なので、0枚から4枚までの5通り。

$3 \times 4 \times 5 = 60$

この中には、どの硬貨も1枚も使わない場合（0円）が含まれているので、それを取り除きます。

$60 - 1 = 59$

ただし、ここで注意が必要です。10円硬貨と50円硬貨を組み合わせることで、100円硬貨と同じ金額を作れてしまう場合があります。10円硬貨2枚＝20円、50円硬貨3枚＝150円。

ここで、金額の重複を確認します。

10円玉の金額で考えられるのは、0円、10円、20円

50円玉の金額で考えられるのは、0円、50円、100円、150円

100円玉の金額で考えられるのは、0円、100円、200円、300円、400円

10円と50円で作れる金額は、0円、10円、20円、50円、60円、70円、100円、110円、120円、150円、160円、170円。

100円玉を全く使わないとすると、上記の12通りの金額が作れます。

100円玉を1枚使うと、100円、110円、120円、150円、160円、170円、200円、210円、220円、250円、260円、270円。

100円玉を2枚使うと、200円、210円、220円、250円、260円、270円、300円、310円、320円、350円、360円、370円。

100円玉を3枚使うと、300円、310円、320円、350円、360円、370円、400円、410円、420円、450円、460円、470円。

100円玉を4枚使うと、400円、410円、420円、450円、460円、470円、500円、510円、520円、550円、560円、570円。

10円硬貨と50円硬貨で100円を作り出すことができるため、単純な積の法則は使えません。

10円玉、50円玉だけで作れる金額は12通りです。100円玉を組み合わせていくことで、最終的な金額の種類が決まります。

10円玉と50円玉で作れる金額の種類を一つ一つ見ていくことで、金額の重複を避けて数え上げることが可能です。

または、次のように考えます。

10円硬貨の金額を $x$ （$x = 0, 10, 20$）、50円硬貨の金額を $y$ （$y = 0, 50, 100, 150$）、100円硬貨の金額を $z$ （$z = 0, 100, 200, 300, 400$）とします。

支払える金額は $x + y + z$ で表され、この金額の取りうる値を数えることになります。

10円硬貨と50円硬貨の組み合わせを全て書き出すと、0, 10, 20, 50, 60, 70, 100, 110, 120, 150, 160, 170の12通りがあります。

100円硬貨との組み合わせを考えると、それぞれに0, 100, 200, 300, 400円を加えることになります。

重複する金額を排除すると、0, 10, 20, 50, 60, 70, 100, 110, 120, 150, 160, 170, 200, 210, 220, 250, 260, 270, 300, 310, 320, 350, 360, 370, 400, 410, 420, 450, 460, 470の30通りがあります。

ただし、0円の場合を除くと29通りです。

3. 最終的な答え

(1) 95通り

(2) 29通り