5つの数字1, 2, 3, 4, 5の中から異なる3つの数字を選び、それらを並べて3桁の整数を作る。 (1) 5の倍数は何個作れるか。 (2) 偶数は何個作れるか。 (3) 奇数は何個作れるか。

1. 問題の内容

5つの数字1, 2, 3, 4, 5の中から異なる3つの数字を選び、それらを並べて3桁の整数を作る。

(1) 5の倍数は何個作れるか。

(2) 偶数は何個作れるか。

(3) 奇数は何個作れるか。

2. 解き方の手順

(1) 5の倍数について

3桁の整数が5の倍数になるためには、一の位が5である必要がある。

一の位が5に固定されるので、残りの百の位と十の位を考える。

百の位には、1, 2, 3, 4の4つの数字のいずれかを選ぶことができる。

百の位の数字が決まれば、十の位には残りの3つの数字のいずれかを選ぶことができる。

したがって、5の倍数の個数は $4 \times 3 = 12$ 個である。

(2) 偶数について

3桁の整数が偶数になるためには、一の位が2または4である必要がある。

(i) 一の位が2の場合

一の位が2に固定されるので、残りの百の位と十の位を考える。

百の位には、1, 3, 4, 5の4つの数字のいずれかを選ぶことができる。

百の位の数字が決まれば、十の位には残りの3つの数字のいずれかを選ぶことができる。

したがって、この場合は $4 \times 3 = 12$ 個である。

(ii) 一の位が4の場合

一の位が4に固定されるので、残りの百の位と十の位を考える。

百の位には、1, 2, 3, 5の4つの数字のいずれかを選ぶことができる。

百の位の数字が決まれば、十の位には残りの3つの数字のいずれかを選ぶことができる。

したがって、この場合は $4 \times 3 = 12$ 個である。

(i)と(ii)を合わせて、偶数の個数は $12 + 12 = 24$ 個である。

(3) 奇数について

3桁の整数が奇数になるためには、一の位が1, 3, 5である必要がある。

(i) 一の位が1の場合

百の位には、2, 3, 4, 5の4つの数字のいずれかを選ぶことができる。

百の位の数字が決まれば、十の位には残りの3つの数字のいずれかを選ぶことができる。

したがって、この場合は $4 \times 3 = 12$ 個である。

(ii) 一の位が3の場合

百の位には、1, 2, 4, 5の4つの数字のいずれかを選ぶことができる。

百の位の数字が決まれば、十の位には残りの3つの数字のいずれかを選ぶことができる。

したがって、この場合は $4 \times 3 = 12$ 個である。

(iii) 一の位が5の場合

百の位には、1, 2, 3, 4の4つの数字のいずれかを選ぶことができる。

百の位の数字が決まれば、十の位には残りの3つの数字のいずれかを選ぶことができる。

したがって、この場合は $4 \times 3 = 12$ 個である。

(i), (ii), (iii)を合わせて、奇数の個数は $12 + 12 + 12 = 36$ 個である。

別解として、全体の個数から偶数の個数を引くことでも計算できる。

3桁の整数の全体の個数は $5 \times 4 \times 3 = 60$ 個である。

したがって、奇数の個数は $60 - 24 = 36$ 個である。

3. 最終的な答え

(1) 5の倍数：12個

(2) 偶数：24個

(3) 奇数：36個