次の実数の整数部分と小数部分をそれぞれ求めよ。 (1) $\sqrt{3}$ (2) $\sqrt{10}$ (3) $\frac{2}{\sqrt{3}-1}$

1. 問題の内容

次の実数の整数部分と小数部分をそれぞれ求めよ。

(1) $\sqrt{3}$

(2) $\sqrt{10}$

(3) $\frac{2}{\sqrt{3}-1}$

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{3}$ について

$1^2 = 1 < 3 < 4 = 2^2$ より、$1 < \sqrt{3} < 2$ である。

よって、整数部分は1。

小数部分は、$\sqrt{3} - 1$。

(2) $\sqrt{10}$ について

$3^2 = 9 < 10 < 16 = 4^2$ より、$3 < \sqrt{10} < 4$ である。

よって、整数部分は3。

小数部分は、$\sqrt{10} - 3$。

(3) $\frac{2}{\sqrt{3}-1}$ について

分母を有理化する。

$\frac{2}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{3}+1$

$1 < \sqrt{3} < 2$ より、$2 < \sqrt{3}+1 < 3$ である。

よって、整数部分は2。

小数部分は、$(\sqrt{3}+1) - 2 = \sqrt{3} - 1$。

3. 最終的な答え

(1) 整数部分: 1, 小数部分: $\sqrt{3} - 1$

(2) 整数部分: 3, 小数部分: $\sqrt{10} - 3$

(3) 整数部分: 2, 小数部分: $\sqrt{3} - 1$