100より小さい自然数について、以下の2つの問題を解く。 (1) 4で割ると1余る数の和を求めよ。 (2) 4で割り切れない数の和を求めよ。

1. 問題の内容

100より小さい自然数について、以下の2つの問題を解く。

(1) 4で割ると1余る数の和を求めよ。

(2) 4で割り切れない数の和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 4で割ると1余る数の和

100より小さい自然数で、4で割ると1余る数は、

$1, 5, 9, ..., 97$

である。

これは初項1、公差4の等差数列である。

末項が97であるから、

$1 + 4(n-1) = 97$

$4(n-1) = 96$

$n-1 = 24$

$n = 25$

したがって、項数は25である。

等差数列の和の公式より、求める和は

$S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{25}{2}(1+97) = \frac{25}{2}(98) = 25 \times 49 = 1225$

(2) 4で割り切れない数の和

1から99までの自然数の和は、

$\frac{99(1+99)}{2} = \frac{99 \times 100}{2} = 99 \times 50 = 4950$

100より小さい自然数で4で割り切れる数は、

$4, 8, 12, ..., 96$

である。

これは初項4、公差4の等差数列である。

末項が96であるから、

$4n = 96$

$n = 24$

したがって、項数は24である。

等差数列の和の公式より、4で割り切れる数の和は

$S = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{24}{2}(4+96) = 12(100) = 1200$

したがって、4で割り切れない数の和は

$4950 - 1200 = 3750$

3. 最終的な答え

(1) 1225

(2) 3750