次の極限を求める問題です。 $\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+2} - \sqrt{n})$

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+2} - \sqrt{n})$

2. 解き方の手順

$\sqrt{n+2} - \sqrt{n}$ の形では極限を求めにくいので、有理化を行います。

$\sqrt{n+2} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+2} - \sqrt{n})(\sqrt{n+2} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}$

$= \frac{(n+2) - n}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}$

したがって、

$\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+2} - \sqrt{n}) = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}}$

$n \to \infty$ のとき、$\sqrt{n+2} \to \infty$ かつ $\sqrt{n} \to \infty$ なので、$\sqrt{n+2} + \sqrt{n} \to \infty$。

よって、$\lim_{n \to \infty} \frac{2}{\sqrt{n+2} + \sqrt{n}} = 0$

3. 最終的な答え

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