三角形 ABC において、AD = DB、AE = EC、EF : FB = 2 : 1である。また、線分 CG の長さが 26 cm であるとき、線分 BG の長さ $x$ を求める問題である。

1. 問題の内容

三角形 ABC において、AD = DB、AE = EC、EF : FB = 2 : 1である。また、線分 CG の長さが 26 cm であるとき、線分 BG の長さ $x$ を求める問題である。

2. 解き方の手順

まず、AD = DB、AE = EC より、点 D, E はそれぞれ線分 AB, AC の中点である。したがって、線分 DE は三角形 ABC の中点連結定理より、BC と平行であり、その長さは BC の半分の長さである。

$DE = \frac{1}{2}BC$

次に、EF : FB = 2 : 1 より、線分 BF の長さは線分 EB の長さの 1/3 である。

$BF = \frac{1}{3}EB$

また、線分 DE と線分 BC は平行であるから、三角形 AEF と三角形 ABC は相似である。相似比は AE : AC = 1 : 2 より、EF : BC = 1 : 2 となる。

$EF = \frac{1}{2}BC$

したがって、FB = EB - EF = BC/2 - BC/3 = BC/6 である。EF:FB= 2:1なので、EF = 2FB より、FB = EB/3 である。

次に、メネラウスの定理を三角形 EBC と直線 AFG に適用する。

$\frac{EA}{AC} \cdot \frac{CG}{GB} \cdot \frac{BF}{FE} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{26}{x} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{26}{4x} = 1$

$4x = 26$

$x = \frac{26}{4} = \frac{13}{2} = 6.5$

3. 最終的な答え

x = 6.5