三角形 ABC において、AD = DB, AE = EC, DF:FG = 5:6 であるとき、線分 BG の長さを $x$ とするとき、$x$ の値を求める。ただし、線分 BC の長さは15cmである。

1. 問題の内容

三角形 ABC において、AD = DB, AE = EC, DF:FG = 5:6 であるとき、線分 BG の長さを $x$ とするとき、$x$ の値を求める。ただし、線分 BC の長さは15cmである。

2. 解き方の手順

AD = DB, AE = EC より、線分 DE は三角形 ABC の中点連結定理より、BCと平行で、長さは BC の半分である。すなわち、$DE = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 15 = 7.5$ である。

DF:FG = 5:6 であり、DE と BC は平行なので、三角形 ADF と三角形 ABG は相似である。また、三角形 AFG と三角形 ABC も相似である。

DF:FG = 5:6 より、DG:FG = (5+6):6 = 11:6 である。よって、$\frac{DF}{DG} = \frac{5}{11}$。

$\frac{DF}{BC} = \frac{DF}{DG} \times \frac{DG}{BC}$

DF は DE の一部である。DE と BC は平行なので、三角形 ADF と三角形 ABG は相似であり、

$\frac{DF}{BG} = \frac{AD}{AB} = \frac{1}{2}$

よって、$BG = 2DF$ となる。

$\frac{DF}{FG} = \frac{5}{6}$ なので、$FG = \frac{6}{5}DF$

$BG + FG = BC$ なので、$2DF + \frac{6}{5}DF = 15$

$\frac{10}{5}DF + \frac{6}{5}DF = 15$

$\frac{16}{5}DF = 15$

$DF = \frac{15 \times 5}{16} = \frac{75}{16}$

$x = BG = 2DF = 2 \times \frac{75}{16} = \frac{75}{8} = 9.375$

3. 最終的な答え

x = 9.375 cm