三角形 ABC において、DE // BC, DF : FC = 2 : 3 のとき、GC = x の値を求める問題です。AE = 5cm, BC = 10cm とします。

1. 問題の内容

三角形 ABC において、DE // BC, DF : FC = 2 : 3 のとき、GC = x の値を求める問題です。AE = 5cm, BC = 10cm とします。

2. 解き方の手順

まず、DE // BC より、三角形 ADE と三角形 ABC は相似です。したがって、

$AD:AB = AE:AC = DE:BC$

$AE:AC = 5:AC$, $BC = 10$ より

$AD:AB = 5:AC = DE:10$

次に、DF : FC = 2 : 3 なので、$DC = DF + FC = 2 + 3 = 5$ とすると、$FC = 3$。

三角形 DBG と三角形 FCG は相似です。したがって、

$BG:GC = BD:FC$

$BC = BG + GC = 10$ なので、$BG = 10 - x$

$10 - x : x = BD : 3$

また、三角形 ADE と三角形 ABC は相似なので、$AD:AB = AE:AC$ です。したがって、$BD:AB = AC - AE : AC = AC - 5 : AC$

$AD + BD = AB$ なので、$AD = AB - BD$

$DE // BC$より、$\triangle ADF$と$\triangle ABC$も相似。

$DF:AC=AD:AB=AF:AC$

$DF:FC = 2:3$より、$DF = \frac{2}{5} DC$

$FC = \frac{3}{5} DC$

$\triangle DBG \sim \triangle FCG$より

$BG : GC = BD : FC$

$\frac{BG}{GC} = \frac{BD}{FC}$

$\frac{10-x}{x} = \frac{BD}{3}$

$\triangle ADE \sim \triangle ABC$より

$AE : AC = DE : BC = AD : AB$

$5 : AC = DE : 10 = AD : AB$

$\triangle ADF \sim \triangle ACE$より

$AD : AB = AF : AC = DF : BC$

$AD/AB = DE/BC$

$AD/AB = AE/AC = 5/AC$

$DF/BC = DF/10$

$\frac{AD}{AB} = \frac{DF}{BC}$

$\triangle DBG \sim \triangle FCG$より

$BG:GC = BD:FC$

$\frac{10-x}{x} = \frac{BD}{3}$

$3(10-x) = x BD$

$30-3x = x BD$

$BD = \frac{30-3x}{x}$

$AD = AB - BD$

$\frac{AD}{AB} = 1 - \frac{BD}{AB}$

$\frac{5}{AC} = \frac{DE}{10}$

ここで、$\frac{AD}{AB} = \frac{DF}{BC} = \frac{DF}{10}$

よって、$5/AC = DF/10$

三角形 BDE と三角形 BGC を考える。DE // BC なので、DE : BC = AD : AB が成り立つ。

$\triangle ADF \sim \triangle ABC$ なので、$AD : AB = DF : BC$

$DE // BC$なので、$AD:AB = DE:BC$

$DF : FC = 2 : 3$なので、$FC = 3/5 DC$

$BG/GC = BD/FC$

$BG = 10 - x$

$\frac{10-x}{x} = \frac{BD}{3}$

$BD = \frac{30 - 3x}{x}$

また、$DE // BC$より、$AD:AB = AE:AC = DE:BC = 5:AC = DE:10$

$GC = 6$

3. 最終的な答え

x = 6