$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} + e^x - 2}{x}$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} + e^x - 2}{x}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

この極限は、そのまま $x=0$ を代入すると $\frac{0}{0}$ の不定形になるので、ロピタルの定理を使うか、もしくは式変形して解きます。ここでは、式変形による解法を示します。

まず、分子を因数分解します。$e^x = t$ とおくと、

$e^{2x} + e^x - 2 = t^2 + t - 2 = (t+2)(t-1) = (e^x + 2)(e^x - 1)$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} + e^x - 2}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(e^x + 2)(e^x - 1)}{x}$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + 2}{1} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$

ここで、$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ であることを利用します（これは $e^x$ の $x=0$ における微分係数の定義そのものです）。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} + e^x - 2}{x} = (e^0 + 2) \cdot 1 = (1+2) \cdot 1 = 3$

または、ロピタルの定理を用いることもできます。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} + e^x - 2}{x}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理より

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} + e^x - 2}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x} + e^x}{1}$

ここで、 $x=0$ を代入すると

$2e^{2\cdot 0} + e^0 = 2e^0 + e^0 = 2 \cdot 1 + 1 = 3$

3. 最終的な答え

3