全体集合 $U$ の部分集合 $A$, $B$ について、$n(U)=100$, $n(A)=36$, $n(B)=42$, $n(A \cap B)=15$ であるとき、以下の個数を求めます。 (1) $n(\overline{A})$ (2) $n(\overline{B})$ (3) $n(\overline{A} \cap B)$ (4) $n(A \cup B)$ (5) $n(\overline{A \cup B})$ (6) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ の部分集合 $A$, $B$ について、$n(U)=100$, $n(A)=36$, $n(B)=42$, $n(A \cap B)=15$ であるとき、以下の個数を求めます。

(1) $n(\overline{A})$

(2) $n(\overline{B})$

(3) $n(\overline{A} \cap B)$

(4) $n(A \cup B)$

(5) $n(\overline{A \cup B})$

(6) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

2. 解き方の手順

(1) $n(\overline{A})$ を求めます。これは $A$ の補集合の要素の個数なので、$n(\overline{A}) = n(U) - n(A)$ で計算できます。

$n(\overline{A}) = 100 - 36 = 64$

(2) $n(\overline{B})$ を求めます。これは $B$ の補集合の要素の個数なので、$n(\overline{B}) = n(U) - n(B)$ で計算できます。

$n(\overline{B}) = 100 - 42 = 58$

(3) $n(\overline{A} \cap B)$ を求めます。これは、$B$ に含まれていて、$A$ に含まれていない要素の個数です。これは $n(B) - n(A \cap B)$ で計算できます。

$n(\overline{A} \cap B) = n(B) - n(A \cap B) = 42 - 15 = 27$

(4) $n(A \cup B)$ を求めます。これは $A$ または $B$ に含まれる要素の個数なので、$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ で計算できます。

$n(A \cup B) = 36 + 42 - 15 = 63$

(5) $n(\overline{A \cup B})$ を求めます。これは $A \cup B$ の補集合の要素の個数なので、$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$ で計算できます。

$n(\overline{A \cup B}) = 100 - 63 = 37$

(6) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$ を求めます。これは $\overline{A \cup B}$ と同じなので、(5)の結果を利用できます。

$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B}) = 37$

または、ド・モルガンの法則より $\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$ より $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B) = 100 - (36+42-15) = 100 - 63 = 37$

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{A}) = 64$

(2) $n(\overline{B}) = 58$

(3) $n(\overline{A} \cap B) = 27$

(4) $n(A \cup B) = 63$

(5) $n(\overline{A \cup B}) = 37$

(6) $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 37$