$e = \lim_{h \to 0} (1+h)^{1/h}$ を用いて、$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$ を示す問題です。

1. 問題の内容

$e = \lim_{h \to 0} (1+h)^{1/h}$ を用いて、$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$ を示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、$e = \lim_{h \to 0} (1+h)^{1/h}$ の定義から、$h$ が十分小さいとき、$e \approx (1+h)^{1/h}$ と近似できます。この式を変形して、$e^h \approx 1+h$ を得ます。

この近似式を使って、$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h}$ を計算します。

$e^h = 1 + h + o(h)$ (ここで$o(h)$ はランダウの記号で、$h \to 0$ のとき、$o(h)/h \to 0$ を満たす項を表す)

$\frac{e^h - 1}{h} = \frac{(1+h+o(h)) - 1}{h} = \frac{h+o(h)}{h} = 1 + \frac{o(h)}{h}$

したがって、

$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = \lim_{h \to 0} (1 + \frac{o(h)}{h}) = 1 + 0 = 1$

別解として、$x = e^h - 1$ とおくと、$h = \ln(x+1)$ となります。$h \to 0$ のとき、$x \to 0$ となります。したがって、

$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{\ln(x+1)}$

ここで、$t=1/x$とおくと、$x=1/t$, $x \to 0$ のとき、$t \to \infty$となるので、

$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\ln(x+1)} = \lim_{t \to \infty} \frac{1/t}{\ln(1+1/t)} = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t \ln(1+1/t)} = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{ \ln((1+1/t)^t)}$

$e = \lim_{t \to \infty} (1 + 1/t)^t$ より

$\lim_{t \to \infty} \frac{1}{\ln((1+1/t)^t)} = \frac{1}{\ln(e)} = \frac{1}{1} = 1$

3. 最終的な答え

$\lim_{h \to 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1$