以下の極限を求める問題です。 $\lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}$

1. 問題の内容

以下の極限を求める問題です。

$\lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}$

2. 解き方の手順

分母に$\sqrt{n+1} - \sqrt{n}$があるため、まずこれを有理化します。

分子と分母に$\sqrt{n+1} + \sqrt{n}$を掛けます。

$\lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}$

分母は$(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n}) = (\sqrt{n+1})^2 - (\sqrt{n})^2 = (n+1) - n = 1$となります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{3(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{1} = \lim_{n \to \infty} 3(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})$

ここで、$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n+1} = \infty$であり、$\lim_{n \to \infty} \sqrt{n} = \infty$であるので、

$\lim_{n \to \infty} 3(\sqrt{n+1} + \sqrt{n}) = 3(\infty + \infty) = \infty$となります。

3. 最終的な答え

$\infty$