与えられた2つの無限級数の和を求める問題です。 (1) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^n \cos n\pi$ (2) $\sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{1}{3})^n \sin \frac{n\pi}{2}$

はい、承知いたしました。問題の解答を以下に示します。

1. 問題の内容

与えられた2つの無限級数の和を求める問題です。

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^n \cos n\pi$

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{1}{3})^n \sin \frac{n\pi}{2}$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^n \cos n\pi$

$\cos n\pi = (-1)^n$ であるから、与えられた無限級数は次のように書き換えられます。

$\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{3})^n (-1)^n = \sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{1}{3})^n$

これは初項 $-\frac{1}{3}$、公比 $-\frac{1}{3}$ の等比数列の和であるから、

$\sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{1}{3})^n = \frac{-\frac{1}{3}}{1 - (-\frac{1}{3})} = \frac{-\frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}} = -\frac{1}{4}$

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{1}{3})^n \sin \frac{n\pi}{2}$

$\sin \frac{n\pi}{2}$ は $n=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...$ に対して $1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, ...$ のように周期4で繰り返される数列です。

したがって、この無限級数は以下のように書き出すことができます。

$\sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{1}{3})^n \sin \frac{n\pi}{2} = (-\frac{1}{3})^1 (1) + (-\frac{1}{3})^2 (0) + (-\frac{1}{3})^3 (-1) + (-\frac{1}{3})^4 (0) + (-\frac{1}{3})^5 (1) + (-\frac{1}{3})^6 (0) + (-\frac{1}{3})^7 (-1) + (-\frac{1}{3})^8 (0) + ...$

$= -\frac{1}{3} + 0 + \frac{1}{27} + 0 - \frac{1}{243} + 0 + \frac{1}{2187} + 0 + ...$

$= -\frac{1}{3} + \frac{1}{27} - \frac{1}{243} + \frac{1}{2187} - ...$

これは初項 $-\frac{1}{3}$、公比 $-\frac{1}{9}$ の等比数列の和であるから、

$\sum_{n=1}^{\infty} (-\frac{1}{3})^n \sin \frac{n\pi}{2} = \frac{-\frac{1}{3}}{1 - (-\frac{1}{9})} = \frac{-\frac{1}{3}}{1 + \frac{1}{9}} = \frac{-\frac{1}{3}}{\frac{10}{9}} = -\frac{1}{3} \times \frac{9}{10} = -\frac{3}{10}$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{4}$

(2) $-\frac{3}{10}$